Calcule as integrais:
\int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{t^{5}}{\sqrt{t^{2}+2}} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{t^{5}}{\sqrt{t^{2}+2}}\,dt.
Informações dadas: o integrando é a função t\mapsto \dfrac{t^{5}}{\sqrt{t^{2}+2}} e os limites de integração são t=0 e t=\sqrt{2}. A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Estratégia: quando vejo uma raiz do tipo \sqrt{t^{2}+2} e potências de t multiplicando, uma substituição natural é
u = t^{2}+2,
pois a derivada de t^{2} é 2t e aparece um fator t no numerador (pois t^{5}=t^{4}\cdot t). Vou detalhar essa substituição e como transformar todo o integrando e os limites.

Passo 3

Faço a substituição explicitamente. Defino
u = t^{2}+2.
Então derivando,
du = 2t\,dt \quad\Rightarrow\quad t\,dt = \frac{1}{2}\,du.
Também expresso t^{2} e t^{4} em termos de u:
t^{2} = u-2,\qquad t^{4} = (t^{2})^{2} = (u-2)^{2}.

Passo 4

Transformo o integrando usando essas relações. O numerador t^{5} é t^{4}\cdot t, então
t^{5}\,dt = t^{4}\cdot t\,dt = (u-2)^{2}\cdot \left(\frac{1}{2}\,du\right).
A raiz do denominador vira \sqrt{t^{2}+2}=\sqrt{u}. Portanto o integrando inteiro se transforma em
\frac{t^{5}}{\sqrt{t^{2}+2}}\,dt = \frac{(u-2)^{2}}{\sqrt{u}}\cdot \frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}(u-2)^{2}u^{-1/2}\,du.

Passo 5

Mudo também os limites de integração usando u=t^{2}+2. Quando t=0,
u = 0^{2}+2 = 2.
Quando t=\sqrt{2},
u = (\sqrt{2})^{2}+2 = 2+2 = 4.
Logo a integral definida vira
\int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{t^{5}}{\sqrt{t^{2}+2}}\,dt = \frac{1}{2}\int_{2}^{4} (u-2)^{2}u^{-1/2}\,du.

Passo 6

Para integrar, expando (u-2)^{2} e multiplico por u^{-1/2}:
(u-2)^{2} = u^{2}-4u+4,
portanto
(u-2)^{2}u^{-1/2} = u^{2}u^{-1/2}-4u\,u^{-1/2}+4u^{-1/2} = u^{3/2}-4u^{1/2}+4u^{-1/2}.
Assim a integral fica
\frac{1}{2}\int_{2}^{4}\bigl(u^{3/2}-4u^{1/2}+4u^{-1/2}\bigr)\,du.

Passo 7

Agora uso a regra básica de potências para integrar termo a termo. A fórmula é: para \alpha\neq -1,
\int u^{\alpha}\,du = \frac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}.
Aplicando a cada termo:
\int u^{3/2}\,du = \frac{u^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}u^{5/2},
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2},
\int u^{-1/2}\,du = \frac{u^{1/2}}{1/2} = 2u^{1/2}.

Passo 8

Combino os resultados com os coeficientes e o fator 1/2:
\frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}u^{5/2} -4\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} +4\cdot 2u^{1/2}\right) = \frac{1}{5}u^{5/2} -\frac{4}{3}u^{3/2} +4u^{1/2}.
Portanto a integral definida vale
\left[\frac{1}{5}u^{5/2} -\frac{4}{3}u^{3/2} +4u^{1/2}\right]_{u=2}^{u=4}.

Passo 9

Calculo os valores em u=4 e u=2. Primeiro as potências:
Para u=4: u^{1/2}=2, u^{3/2}=8, u^{5/2}=32.
Para u=2: u^{1/2}=\sqrt{2}, u^{3/2}=2\sqrt{2}, u^{5/2}=4\sqrt{2}.
Avalio em u=4:
\frac{1}{5}\cdot 32 -\frac{4}{3}\cdot 8 +4\cdot 2 = \frac{32}{5} - \frac{32}{3} +8.
Colocando tudo sobre 15:
\frac{32}{5} - \frac{32}{3} +8 = \frac{96}{15} - \frac{160}{15} + \frac{120}{15} = \frac{56}{15}.
Avalio em u=2:
\frac{1}{5}\cdot 4\sqrt{2} -\frac{4}{3}\cdot 2\sqrt{2} +4\cdot \sqrt{2} = \left(\frac{4}{5} - \frac{8}{3} +4\right)\sqrt{2}.
Colocando os coeficientes sobre 15:
\frac{4}{5} - \frac{8}{3} +4 = \frac{12}{15} - \frac{40}{15} + \frac{60}{15} = \frac{32}{15},
portanto o valor em u=2 é \dfrac{32\sqrt{2}}{15}.

Passo 10

Subtraio os valores para obter a integral:
\int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{t^{5}}{\sqrt{t^{2}+2}}\,dt = \frac{56}{15} - \frac{32\sqrt{2}}{15} = \frac{56-32\sqrt{2}}{15}.
Posso fatorar 8 no numerador se quiser simplificar a aparência:
\frac{56-32\sqrt{2}}{15} = \frac{8(7-4\sqrt{2})}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{56-32\sqrt{2}}{15}

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