Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas: o integrando é a função
e os limites de integração são
e
. A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral.
Passo 2
Estratégia: quando vejo uma raiz do tipo
e potências de
multiplicando, uma substituição natural é
pois a derivada de
é
e aparece um fator
no numerador (pois
). Vou detalhar essa substituição e como transformar todo o integrando e os limites.
Passo 3
Faço a substituição explicitamente. Defino
Então derivando,
Também expresso
e
em termos de
:
Passo 4
Transformo o integrando usando essas relações. O numerador
é
, então
A raiz do denominador vira
. Portanto o integrando inteiro se transforma em
Passo 5
Mudo também os limites de integração usando
. Quando
,
Quando
,
Logo a integral definida vira
Passo 6
Para integrar, expando
e multiplico por
:
portanto
Assim a integral fica
Passo 7
Agora uso a regra básica de potências para integrar termo a termo. A fórmula é: para
,
Aplicando a cada termo:
Passo 8
Combino os resultados com os coeficientes e o fator
:
Portanto a integral definida vale
Passo 9
Calculo os valores em
e
. Primeiro as potências:
Para :
,
,
.
Para :
,
,
.
Para
Para
Avalio em
:
Colocando tudo sobre
:
Avalio em
:
Colocando os coeficientes sobre
:
portanto o valor em
é
.
Passo 10
Subtraio os valores para obter a integral:
Posso fatorar
no numerador se quiser simplificar a aparência: