Calcule as integrais:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a primitiva (integração indefinida) da função
, ou seja encontrar uma função
tal que
. A integral dada é
Informações relevantes: a integranda é produto de um polinômio
por uma função trigonométrica
. Precisamos obter uma expressão para a antiderivada, mais a constante de integração
.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): quando temos um produto do tipo “polinômio × função trigonométrica”, uma escolha prática é aplicar a fórmula de integração por partes, que reduz o grau do polinômio e envolve a antiderivada da parte trigonométrica. A fórmula de integração por partes é
onde
e
são partes do integrando escolhidas por nós. Aqui
deve ser uma função fácil de derivar (por exemplo um polinômio) e
deve ser algo cuja integral
conhecemos (por exemplo
ou
). Vou explicar o significado de cada coisa:
é a parte que vamos derivar para obter
;
é a parte que vamos integrar para obter
. Depois substituímos na fórmula.
Passo 3
Escolha das partes e cálculo de
e
: escolhemos
Derivando
obtemos
Integrando
obtemos
. Como
, temos
portanto
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
ou seja
Simplificando os sinais:
Agora o problema reduziu para calcular
, que faremos com outra integração por partes.
Passo 5
Segunda integração por partes para
: escolhemos
Então
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Calcular a integral
que apareceu:
Portanto
Passo 7
Voltar à expressão obtida no Passo 4 e substituir o resultado do Passo 6:
Agora expandimos e simplificamos os termos envolvendo
:
Combinando os termos em
:
Passo 8
Verificação rápida (derivada da primitiva encontrada): vamos checar que a derivada da expressão final dá o integrando
. Seja
Derivando termo a termo (regra do produto quando necessário):
Simplificando:
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.