Calcule as integrais:
\int\left(x^{2}+1\right) \operatorname{sen}(x) d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a primitiva (integração indefinida) da função \left(x^{2}+1\right)\operatorname{sen}(x), ou seja encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\left(x^{2}+1\right)\operatorname{sen}(x). A integral dada é
\int\left(x^{2}+1\right)\operatorname{sen}(x)\,dx.
Informações relevantes: a integranda é produto de um polinômio \left(x^{2}+1\right) por uma função trigonométrica \operatorname{sen}(x). Precisamos obter uma expressão para a antiderivada, mais a constante de integração C.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): quando temos um produto do tipo “polinômio × função trigonométrica”, uma escolha prática é aplicar a fórmula de integração por partes, que reduz o grau do polinômio e envolve a antiderivada da parte trigonométrica. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e dv são partes do integrando escolhidas por nós. Aqui u deve ser uma função fácil de derivar (por exemplo um polinômio) e dv deve ser algo cuja integral v conhecemos (por exemplo \sin x ou \cos x). Vou explicar o significado de cada coisa: u é a parte que vamos derivar para obter du; dv é a parte que vamos integrar para obter v. Depois substituímos na fórmula.

Passo 3

Escolha das partes e cálculo de du e v: escolhemos
u = x^{2}+1,\qquad dv=\sin x\,dx.
Derivando u obtemos
du = 2x\,dx.
Integrando dv obtemos v. Como \dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x, temos
\int \sin x\,dx = -\cos x,
portanto
v = -\cos x.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int\left(x^{2}+1\right)\sin x\,dx = uv - \int v\,du
ou seja
\int\left(x^{2}+1\right)\sin x\,dx = (x^{2}+1)(- \cos x) - \int (-\cos x)\cdot(2x\,dx).
Simplificando os sinais:
\int\left(x^{2}+1\right)\sin x\,dx = -(x^{2}+1)\cos x + 2\int x\cos x\,dx.
Agora o problema reduziu para calcular \int x\cos x\,dx, que faremos com outra integração por partes.

Passo 5

Segunda integração por partes para \int x\cos x\,dx: escolhemos
u = x,\qquad dv=\cos x\,dx.
Então
du = dx,\qquad v = \int \cos x\,dx = \sin x.
Aplicando a fórmula:
\int x\cos x\,dx = uv - \int v\,du = x\sin x - \int \sin x\,dx.

Passo 6

Calcular a integral \int \sin x\,dx que apareceu:
\int \sin x\,dx = -\cos x.
Portanto
\int x\cos x\,dx = x\sin x - (-\cos x) = x\sin x + \cos x.

Passo 7

Voltar à expressão obtida no Passo 4 e substituir o resultado do Passo 6:
\int\left(x^{2}+1\right)\sin x\,dx = -(x^{2}+1)\cos x + 2\bigl(x\sin x + \cos x\bigr) + C.
Agora expandimos e simplificamos os termos envolvendo \cos x:
-(x^{2}+1)\cos x + 2x\sin x + 2\cos x = -x^{2}\cos x -\cos x + 2x\sin x + 2\cos x.
Combinando os termos em \cos x:
-x^{2}\cos x + 2x\sin x + (-\cos x + 2\cos x) = -x^{2}\cos x + 2x\sin x + \cos x.

Passo 8

Verificação rápida (derivada da primitiva encontrada): vamos checar que a derivada da expressão final dá o integrando \left(x^{2}+1\right)\sin x. Seja
F(x) = -x^{2}\cos x + 2x\sin x + \cos x.
Derivando termo a termo (regra do produto quando necessário):
F'(x) = \bigl(-2x\cos x - x^{2}(-\sin x)\bigr) + \bigl(2\sin x + 2x\cos x\bigr) + (-\sin x).
Simplificando:
F'(x) = -2x\cos x + x^{2}\sin x + 2\sin x + 2x\cos x - \sin x = x^{2}\sin x + \sin x = (x^{2}+1)\sin x,
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\,-x^{2}\cos x + 2x\sin x + \cos x + C

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