Calcule as integrais:
\int \cot ^{7}\left(2 x^{2}-3\right) \cdot \operatorname{cossec}^{4}\left(2 x^{2}-3\right) x d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral
\int \cot^{7}\bigl(2x^{2}-3\bigr)\,\csc^{4}\bigl(2x^{2}-3\bigr)\,x\,dx.
O conteúdo envolve troca de variável e identidades trigonométricas.

Passo 2

Fazemos a troca de variável \,u=2x^{2}-3, de onde
du=4x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx=\tfrac{1}{4}\,du.
Substituindo na integral, vem
\int \cot^{7}\bigl(2x^{2}-3\bigr)\,\csc^{4}\bigl(2x^{2}-3\bigr)\,x\,dx =\frac{1}{4}\int \cot^{7}(u)\,\csc^{4}(u)\,du.

Passo 3

Para integrar \displaystyle\int \cot^{7}(u)\,\csc^{4}(u)\,du usamos
t=\cot(u), \quad dt=-\csc^{2}(u)\,du.
Observe que \csc^{4}(u)=\csc^{2}(u)\cdot\csc^{2}(u) e \csc^{2}(u)=1+\cot^{2}(u)=1+t^{2}. Logo,
\int \cot^{7}(u)\,\csc^{4}(u)\,du =\int t^{7}\,\csc^{2}(u)\,\bigl(\csc^{2}(u)\,du\bigr) =-\int t^{7}\,(1+t^{2})\,dt.

Passo 4

Expandindo e integrando em t:
-\int\bigl(t^{7}+t^{9}\bigr)\,dt =-\Bigl(\frac{t^{8}}{8}+\frac{t^{10}}{10}\Bigr)+C.
Multiplicando o fator \tfrac{1}{4} que ficou fora, obtemos
-\frac{1}{4}\Bigl(\frac{t^{8}}{8}+\frac{t^{10}}{10}\Bigr) =-\frac{t^{8}}{32}-\frac{t^{10}}{40}+C.

Passo 5

Voltando às variáveis originais, t=\cot(u) e u=2x^{2}-3, a primitiva final é
-\frac{1}{32}\,\cot^{8}\bigl(2x^{2}-3\bigr) -\frac{1}{40}\,\cot^{10}\bigl(2x^{2}-3\bigr) + C.

Resposta

-\frac{1}{32}\,\cot^{8}\bigl(2x^{2}-3\bigr) -\frac{1}{40}\,\cot^{10}\bigl(2x^{2}-3\bigr) + C.

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