Calcule as integrais:
\int \frac{d x}{\sqrt{\left(7+6 x-x^{2}\right)^{5}}}

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int \frac{dx}{\sqrt{\bigl(7+6x - x^2\bigr)^{5}}}
e o conteúdo principal aqui é integrar uma função da forma \int (a - (x-b)^2)^{-5/2}dx. Para resolver, vamos primeiro completar o quadrado no polinômio do denominador e depois usar uma substituição trigonométrica.

Passo 2

Completo o quadrado em 7+6x - x^2. Escrevo
7+6x - x^2 = -\bigl(x^2 -6x -7\bigr) = -\Bigl((x-3)^2 -16\Bigr) = 16 - (x-3)^2.

Passo 3

Faço a substituição trigonométrica
x-3 = 4\sin\theta, \quad dx = 4\cos\theta\,d\theta, \quad 16 - (x-3)^2 = 16\cos^2\theta.
Assim o integrando vira
\frac{dx}{\bigl(16 - (x-3)^2\bigr)^{5/2}} = \frac{4\cos\theta\,d\theta}{\bigl(16\cos^2\theta\bigr)^{5/2}}.

Passo 4

Calculo o denominador:
\bigl(16\cos^2\theta\bigr)^{5/2} =16^{5/2}\,\cos^5\theta =1024\,\cos^5\theta.
Logo a integral original fica
\int \frac{4\cos\theta\,d\theta}{1024\,\cos^5\theta} = \frac{4}{1024}\int \frac{d\theta}{\cos^4\theta} = \frac{1}{256}\int \operatorname{sec}^4\theta\,d\theta.

Passo 5

Para integrar \int \operatorname{sec}^4\theta\,d\theta uso a identidade \operatorname{sec}^4\theta=\operatorname{sec}^2\theta(1+\tan^2\theta) e a substituição u=\tan\theta, du=\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta:
\int \operatorname{sec}^4\theta\,d\theta =\int \operatorname{sec}^2\theta\bigl(1+\tan^2\theta\bigr)\,d\theta =\int (1+u^2)\,du =u + \frac{u^3}{3} + C =\tan\theta + \frac{\tan^3\theta}{3} + C.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{256} temos
\frac{1}{256}\Bigl(\tan\theta + \tfrac{\tan^3\theta}{3}\Bigr)+C.

Passo 6

Volto à variável x. Da substituição \sin\theta=(x-3)/4 segue
\cos\theta = \frac{\sqrt{16-(x-3)^2}}{4} =\frac{\sqrt{7+6x - x^2}}{4}, \quad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} =\frac{x-3}{\sqrt{7+6x - x^2}}.
Logo
\tan\theta + \frac{\tan^3\theta}{3} =\frac{x-3}{\sqrt{7+6x - x^2}} +\frac{1}{3}\,\frac{(x-3)^3}{\bigl(7+6x - x^2\bigr)^{3/2}}.

Resposta

\int \frac{dx}{\sqrt{\bigl(7+6x - x^2\bigr)^{5}}} =\frac{1}{256}\!\left[ \frac{x-3}{\sqrt{7+6x - x^2}} +\frac{1}{3}\,\frac{(x-3)^3}{\bigl(7+6x - x^2\bigr)^{3/2}} \right] + C.

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