Integrar as funções:
\int \cos 2 x \ln \sin 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \cos(2x)\,\ln\bigl(\sin(2x)\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é técnica de integração por substituição, seguida da integral de \ln(t).

Passo 2

Fazemos a substituição
t = \sin(2x), \qquad dt = 2\cos(2x)\,dx
logo
\cos(2x)\,dx = \frac{dt}{2}
e a integral vira
\int \cos(2x)\,\ln\bigl(\sin(2x)\bigr)\,dx = \frac12 \int \ln(t)\,dt.

Passo 3

Usamos a primitiva conhecida
\int \ln(t)\,dt = t\,\ln(t) - t + C.

Passo 4

Substituindo de volta t=\sin(2x), obtemos
\frac12\Bigl(t\,\ln(t) - t\Bigr) + C = \frac12\,\sin(2x)\,\ln\bigl(\sin(2x)\bigr) - \frac12\,\sin(2x) + C.

Resposta

\frac12\,\sin(2x)\,\ln\bigl(\sin(2x)\bigr) - \frac12\,\sin(2x) + C.

Exercícios relacionados