Calcule a integral indefinida.
\int x\left(x^{2}-1\right)^{3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x\bigl(x^{2}-1\bigr)^{3}\,dx.
O conteúdo aqui é integração por substituição, pois vemos um fator x e uma função de x^{2}-1.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2}-1,
de onde
du = 2x\,dx
e portanto
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int x\bigl(x^{2}-1\bigr)^{3}\,dx = \int u^{3}\,\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int u^{3}\,du.

Passo 4

Agora calculamos
\int u^{3}\,du = \frac{u^{4}}{4},
logo
\frac{1}{2}\int u^{3}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{4}}{4} = \frac{u^{4}}{8}.

Passo 5

Voltando à variável x, temos
\frac{u^{4}}{8} + C = \frac{\bigl(x^{2}-1\bigr)^{4}}{8} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{(x^{2}-1)^{4}}{8} + C

Exercícios relacionados