Calcule as integrais:
1
\int \frac{t^{4}+t^{2}+1}{\left(t^{2}+1\right)\left(t^{2}+4\right)^{2}} d t

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{t^{4}+t^{2}+1}{\left(t^{2}+1\right)\left(t^{2}+4\right)^{2}}\,dt.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função a integrar é uma função racional em t (quociente de polinômios).
  • O numerador é de grau 4 e o denominador é \left(t^{2}+1\right)\left(t^{2}+4\right)^{2}.
    A partir daqui vamos decompor em frações parciais e integrar termo a termo.

Passo 2

Motivação para a decomposição: o integrando é uma função racional própria (grau do numerador menor que o do denominador), e os fatores do denominador são quadráticos irreduzíveis \left(t^{2}+1\right) e \left(t^{2}+4\right)^{2}. Além disso o integrando é uma função par (apenas potências pares de t), então os termos com numerador linear em t vão desaparecer. Por isso tentamos a forma
\frac{t^{4}+t^{2}+1}{(t^{2}+1)(t^{2}+4)^{2}}=\frac{A}{t^{2}+1}+\frac{B}{t^{2}+4}+\frac{C}{(t^{2}+4)^{2}},
onde A,B,C são constantes a determinar.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (t^{2}+1)(t^{2}+4)^{2} obtemos a identidade polinomial
t^{4}+t^{2}+1 = A(t^{2}+4)^{2} + B(t^{2}+1)(t^{2}+4) + C(t^{2}+1).
Expandindo cada termo:
(t^{2}+4)^{2}=t^{4}+8t^{2}+16,
(t^{2}+1)(t^{2}+4)=t^{4}+5t^{2}+4.
Substituindo e reunindo coeficientes:
t^{4}+t^{2}+1 = (A+B)t^{4} + (8A+5B+C)t^{2} + (16A+4B+C).
Igualando coeficientes dos monômios t^{4}, t^{2}, e termo constante obtemos o sistema
\begin{cases} 1 = A + B,\\[4pt] 1 = 8A + 5B + C,\\[4pt] 1 = 16A + 4B + C. \end{cases}]

Passo 4

Resolva o sistema para A,B,C. Subtraindo a segunda equação da terceira:
0 = (16A+4B+C) - (8A+5B+C) = 8A - B \quad\Rightarrow\quad B = 8A.
Da primeira equação:
1 = A + B = A + 8A = 9A \quad\Rightarrow\quad A = \frac{1}{9}.
Então
B = \frac{8}{9}.
Para C, use a terceira equação:
1 = 16A +4B + C = 16\cdot\frac{1}{9} +4\cdot\frac{8}{9} + C = \frac{48}{9} + C = \frac{16}{3} + C,
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C = 1 - \frac{16}{3} = -\frac{13}{3}.

Passo 5

Com A,B,C determinados, reescrevemos a integral:
\int \frac{t^{4}+t^{2}+1}{(t^{2}+1)(t^{2}+4)^{2}}\,dt = \int\left(\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{t^{2}+1} + \frac{8}{9}\cdot\frac{1}{t^{2}+4} - \frac{13}{3}\cdot\frac{1}{(t^{2}+4)^{2}}\right)dt.
Agora integramos termo a termo. Recordando duas integrais padrão:
\int \frac{dt}{t^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{t}{a}\right)+C,
e precisamos também de
\int \frac{dt}{(t^{2}+a^{2})^{2}}.
Vamos obter esta última fórmula de forma direta (para a>0).

Passo 6

Derivada útil:
\frac{d}{dt}\left(\frac{t}{t^{2}+a^{2}}\right)=\frac{a^{2}-t^{2}}{(t^{2}+a^{2})^{2}}.
Queremos escrever \dfrac{1}{(t^{2}+a^{2})^{2}} em termos de \dfrac{a^{2}-t^{2}}{(t^{2}+a^{2})^{2}} e \dfrac{1}{t^{2}+a^{2}}. Procura-se constantes A,B tais que
\frac{1}{(t^{2}+a^{2})^{2}} = A\cdot\frac{a^{2}-t^{2}}{(t^{2}+a^{2})^{2}} + B\cdot\frac{1}{t^{2}+a^{2}}.
Multiplicando por (t^{2}+a^{2})^{2} e igualando coeficientes leva a B=A e 2a^{2}A=1, ou seja A=B=\dfrac{1}{2a^{2}}. Assim
\frac{1}{(t^{2}+a^{2})^{2}} = \frac{1}{2a^{2}}\left(\frac{a^{2}-t^{2}}{(t^{2}+a^{2})^{2}} + \frac{1}{t^{2}+a^{2}}\right).
Integrando ambos os lados:
\int\frac{dt}{(t^{2}+a^{2})^{2}} = \frac{1}{2a^{2}}\left(\int\frac{a^{2}-t^{2}}{(t^{2}+a^{2})^{2}}\,dt + \int\frac{dt}{t^{2}+a^{2}}\right).
Mas \dfrac{a^{2}-t^{2}}{(t^{2}+a^{2})^{2}}=\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{t}{t^{2}+a^{2}}\right), então
\int\frac{dt}{(t^{2}+a^{2})^{2}} = \frac{1}{2a^{2}}\left(\frac{t}{t^{2}+a^{2}} + \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{t}{a}\right)\right) + C.
Em forma simplificada:
\int\frac{dt}{(t^{2}+a^{2})^{2}} = \frac{t}{2a^{2}(t^{2}+a^{2})} + \frac{1}{2a^{3}}\arctan\!\left(\frac{t}{a}\right) + C.

Passo 7

Aplicamos as fórmulas com a=1 e a=2 (pois t^{2}+4=(t^{2}+2^{2})):
  1. \displaystyle \int \frac{dt}{t^{2}+1} = \arctan t.
  2. \displaystyle \int \frac{dt}{t^{2}+4} = \frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{t}{2}\right).
  3. Pela fórmula anterior com a=2,
\int \frac{dt}{(t^{2}+4)^{2}} = \frac{t}{8(t^{2}+4)} + \frac{1}{16}\arctan\!\left(\frac{t}{2}\right).

Passo 8

Agora combine tudo:
\begin{aligned} \int \frac{t^{4}+t^{2}+1}{(t^{2}+1)(t^{2}+4)^{2}}\,dt &= \frac{1}{9}\arctan t + \frac{8}{9}\cdot\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{t}{2}\right) - \frac{13}{3}\left(\frac{t}{8(t^{2}+4)} + \frac{1}{16}\arctan\!\left(\frac{t}{2}\right)\right) + C \\\ &= \frac{1}{9}\arctan t + \frac{4}{9}\arctan\!\left(\frac{t}{2}\right) - \frac{13t}{24(t^{2}+4)} - \frac{13}{48}\arctan\!\left(\frac{t}{2}\right) + C. \end{aligned}
Juntando os coeficientes de \arctan\!\left(\dfrac{t}{2}\right):
\frac{4}{9} - \frac{13}{48} = \frac{64}{144} - \frac{39}{144} = \frac{25}{144}.
Portanto a primitiva fica
\frac{1}{9}\arctan t + \frac{25}{144}\arctan\!\left(\frac{t}{2}\right) - \frac{13t}{24(t^{2}+4)} + C.

Resposta

\frac{1}{9}\arctan t + \frac{25}{144}\arctan\!\left(\frac{t}{2}\right) - \frac{13t}{24(t^{2}+4)} + C

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