Calcule as integrais:
a)
\int \frac{6 x^{4}-5 x^{3}+4 x^{2}}{2 x^{2}-x+1} d x
b) \int \frac{(x-8) d x}{x^{3}-4 x^{2}+4 x}

Passo 1

O enunciado pede duas integrais de funções racionais. No item (a) vamos usar divisão de polinômios para tornar o integrando numa parte polinomial mais uma parte própria, depois aplicamos substituição e completamos quadrado para integrar a parte própria. No item (b) vamos fatorar o denominador e aplicar frações parciais, depois integrar termo a termo.

Passo 2

Para a integral
\int \frac{6x^{4}-5x^{3}+4x^{2}}{2x^{2}-x+1}\,dx
fazemos divisão de polinômios:
dividindo 6x^{4}-5x^{3}+4x^{2} por 2x^{2}-x+1 obtemos
\frac{6x^{4}-5x^{3}+4x^{2}}{2x^{2}-x+1} =3x^{2}-x+\frac{x}{2x^{2}-x+1}.
Logo a integral vira
\int\Bigl(3x^{2}-x\Bigr)\,dx +\int\frac{x}{2x^{2}-x+1}\,dx.

Passo 3

A primeira parte é imediata:
\int(3x^{2}-x)\,dx =x^{3}-\frac{x^{2}}{2}.
Para a segunda parte note que \frac{d}{dx}(2x^{2}-x+1)=4x-1. Escrevemos
x =\frac14(4x-1)+\frac14,
logo
\frac{x}{2x^{2}-x+1} =\frac{1}{4}\,\frac{4x-1}{2x^{2}-x+1} +\frac{1}{4}\,\frac{1}{2x^{2}-x+1}.
Assim
\int\frac{x}{2x^{2}-x+1}\,dx =\frac{1}{4}\ln\bigl(2x^{2}-x+1\bigr) +\frac{1}{4}\int\frac{dx}{2x^{2}-x+1}.
Para a última integral completamos o quadrado:
2x^{2}-x+1 =2\Bigl(x-\tfrac14\Bigr)^{2}+\tfrac{7}{8} =\frac{7}{8}\Bigl[1+\bigl(\tfrac{4x-1}{\sqrt7}\bigr)^{2}\Bigr].
Fazendo u=(4x-1)/\sqrt7 e dx=(\sqrt7/4)\,du, obtém-se
\int\frac{dx}{2x^{2}-x+1} =\frac{8}{7}\,\frac{\sqrt7}{4}\arctan\!\bigl(u\bigr) =\frac{\sqrt7}{7}\arctan\!\bigl(\tfrac{4x-1}{\sqrt7}\bigr).
Multiplicando pelo \tfrac14
\frac{1}{4}\int\frac{dx}{2x^{2}-x+1} =\frac{\sqrt7}{28}\arctan\!\bigl(\tfrac{4x-1}{\sqrt7}\bigr).
Somando tudo em (a) temos
x^{3}-\frac{x^{2}}{2} +\frac{1}{4}\ln\bigl(2x^{2}-x+1\bigr) +\frac{\sqrt7}{28}\arctan\!\bigl(\tfrac{4x-1}{\sqrt7}\bigr).

Passo 4

Para
\int \frac{x-8}{x^{3}-4x^{2}+4x}\,dx
fatoramos o denominador:
x^{3}-4x^{2}+4x=x(x-2)^{2}.
Fazemos frações parciais
\frac{x-8}{x(x-2)^{2}} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^{2}}.
Igualando numeradores obtém-se A=-2, B=2, C=-3.

Passo 5

Logo
\frac{x-8}{x(x-2)^{2}} =-\frac{2}{x}+\frac{2}{x-2}-\frac{3}{(x-2)^{2}}.
Integrando termo a termo:
\int -\frac{2}{x}\,dx=-2\ln|x|, \quad \int \frac{2}{x-2}\,dx=2\ln|x-2|, \quad \int -\frac{3}{(x-2)^{2}}\,dx =3\,(x-2)^{-1}.
Somando dá
-2\ln|x|+2\ln|x-2|+\frac{3}{x-2}.

Resposta

(a) x^{3}-\frac{x^{2}}{2} +\frac{1}{4}\ln\bigl(2x^{2}-x+1\bigr) +\frac{\sqrt7}{28}\arctan\!\bigl(\tfrac{4x-1}{\sqrt7}\bigr)+C.
(b) -2\ln|x|+2\ln|x-2|+\frac{3}{x-2}+C.

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