Enconter a primitiva au resolva a integral.
\int x^{8} \cdot \sqrt{1+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva de
\int x^{8}\,\sqrt{1+x^{2}}\;dx.
O conteúdo principal é integração de potências de x multiplicadas por \sqrt{1+x^{2}}. Vamos usar a substituição hiperbólica
x=\operatorname{sinh} u,\quad dx=\operatorname{cosh} u\,du,\quad \sqrt{1+x^{2}}=\operatorname{cosh} u,
que transforma a raiz numa função simples de u.

Passo 2

Aplicando x=\operatorname{sinh} u temos
x^{8}=(\operatorname{sinh} u)^{8}, \quad \sqrt{1+x^{2}}=\operatorname{cosh} u, \quad dx=\operatorname{cosh} u\,du.
Logo a integral vira
\int x^{8}\sqrt{1+x^{2}}\,dx =\int (\operatorname{sinh} u)^{8}\,\operatorname{cosh} u\,\operatorname{cosh} u\,du =\int \bigl(\operatorname{sinh}^{8}u+\operatorname{sinh}^{10}u\bigr)\,du.

Passo 3

Precisamos agora integrar
\int \operatorname{sinh}^{8}u\,du \quad\text{e}\quad \int \operatorname{sinh}^{10}u\,du.
Para potências pares de \operatorname{sinh} usamos a identidade
\operatorname{sinh}^{2}u=\frac{\operatorname{cosh}(2u)-1}{2},
expandimos \operatorname{sinh}^{8}u e \operatorname{sinh}^{10}u em somas de termos do tipo \operatorname{cosh}(k\,u), e integramos cada \operatorname{cosh}(k\,u) via
\int \operatorname{cosh}(k\,u)\,du=\frac{\operatorname{sinh}(k\,u)}{k}.
Após essa expansão e integração, obtemos uma combinação de termos \operatorname{sinh}(m\,u) e uma constante vezes u.

Passo 4

Retornamos à variável x usando
u=\operatorname{arsinh}(x)=\ln\bigl(x+\sqrt{1+x^{2}}\bigr), \qquad \operatorname{sinh}(m\,u),\\ \operatorname{cosh}(m\,u)
expressos em x.

Resposta

Uma primitiva pode ser escrita de forma compacta como
F(x)=\frac{x^{7}\sqrt{1+x^{2}}}{9} -\frac{7\,x^{5}\sqrt{1+x^{2}}}{48} +\frac{7\,x^{3}\sqrt{1+x^{2}}}{32} -\frac{x\,\sqrt{1+x^{2}}}{16} +\frac{3}{16}\,\ln\bigl(x+\sqrt{1+x^{2}}\bigr) +C,
onde C é a constante de integração.

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