Use a Regra do Ponto Médio com o valor dado n para aproximar a integral, isto é, utilize n subintervalos para aproximar a integral usando a Regra do Ponto Médio. Arredonde cada resposta para quatro casas decimais.
\int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{4}(x) d x, \quad \Delta x=\frac{\pi}{4}

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}(x)\,dx
usando a Regra do Ponto Médio com subintervalos de largura \Delta x=\pi/4. Vamos identificar quantos subintervalos temos, achar os pontos médios e aplicar a fórmula da Regra do Ponto Médio.

Passo 2

O número de subintervalos n é dado por
n=\frac{b-a}{\Delta x} =\frac{\pi/2-0}{\pi/4}=2.

Passo 3

Os subintervalos são [0,\pi/4] e [\pi/4,\pi/2].
Os pontos médios são
x_{1}^*=\frac{0+\pi/4}{2}=\frac{\pi}{8}, \quad x_{2}^*=\frac{\pi/4+\pi/2}{2}=\frac{3\pi}{8}.

Passo 4

Avaliamo-s a função nos pontos médios:
f(x)=\cos^{4}(x),
f\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr) =\cos^{4}\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr) \approx0,7285534,
f\bigl(\tfrac{3\pi}{8}\bigr) =\cos^{4}\bigl(\tfrac{3\pi}{8}\bigr) \approx0,0214466.

Passo 5

Pela Regra do Ponto Médio,
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}(x)\,dx \approx \Delta x\sum_{i=1}^{2}f(x_{i}^*) =\frac{\pi}{4}\bigl(0,7285534+0,0214466\bigr) \approx0,5890486.

Passo 6

Arredondando para quatro casas decimais, obtemos
0,5890.

Resposta

A aproximação pelo Ponto Médio com \Delta x=\pi/4 é 0,5890.

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