Calcule as integrais.
\int_{1}^{2} \frac{4+x^{2}}{x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{1}^{2} \frac{4+x^{2}}{x^{3}}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \dfrac{4+x^{2}}{x^{3}}.
  • O intervalo de integração é [1,2].
  • Não há pontos singulares no intervalo porque x\neq0 em [1,2].

Passo 2

Primeiro simplificamos o integrando escrevendo-o como soma de potências de x. Dividindo cada termo por x^{3} temos:
\frac{4+x^{2}}{x^{3}}=\frac{4}{x^{3}}+\frac{x^{2}}{x^{3}}=4x^{-3}+x^{-1}.

Passo 3

Relembrando as regras de integração que vamos usar:
  • Linearidade: \displaystyle \int (a f(x)+b g(x))\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.
  • Regra da potência (para n\neq-1): \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C. Aqui n é um número real e C é a constante de integração.
  • Caso especial n=-1: \displaystyle \int x^{-1}\,dx=\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C.
No nosso integrando temos termos com n=-3 e n=-1, então aplicamos essas fórmulas.

Passo 4

Calculamos uma primitiva F(x) de 4x^{-3}+x^{-1}:
  • Para 4x^{-3}: use a regra da potência com n=-3:
\int 4x^{-3}\,dx = 4\cdot\frac{x^{-2}}{-2} = -2x^{-2}.
(Detalhe: x^{-3} x^{-2}/(-2) e multiplicando por 4 resulta em -2x^{-2}.)
  • Para x^{-1}: a primitiva é \ln|x|.
Portanto uma primitiva é
F(x) = -2x^{-2} + \ln|x|.

Passo 5

Agora aplicamos o teorema fundamental do cálculo para a integral definida \int_{1}^{2}:
\int_{1}^{2}\frac{4+x^{2}}{x^{3}}\,dx = F(2)-F(1).
Calculando:
F(2) = -2\cdot 2^{-2} + \ln 2 = -2\cdot\frac{1}{4} + \ln 2 = -\frac{1}{2} + \ln 2,
F(1) = -2\cdot 1^{-2} + \ln 1 = -2\cdot 1 + 0 = -2.
Logo
F(2)-F(1)=\left(-\frac{1}{2}+\ln 2\right)-(-2)= -\frac{1}{2}+\ln 2 +2 = \frac{3}{2}+\ln 2.

Passo 6

Conclusão final: a integral vale \displaystyle \ln 2 + \frac{3}{2}.
Você fez certinho até aqui — é só aplicar a divisão do integrando e as regras básicas de integração!

Resposta

\ln 2 + \tfrac{3}{2}

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