Calcule as integrais.
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A variável de integração é
. - O integrando é o produto de
com a função composta .
A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma funçãotal que .
Passo 2
Ideia do método (substituição ou mudança de variável):
Quando o integrando tem a forma , é conveniente fazer a substituição
Quando o integrando tem a forma
pois isso transforma a integral em
, que costuma ser mais simples. Aqui nota-se que a parte interna da função seno é
e sua derivada é proporcional a
. Por isso escolhemos a substituição que torna a integral direta.
Passo 3
Escolha a substituição e calcule o diferencial:
Defina
Defina
Derivando ambos os lados em relação a
,
Isolando
,
Passo 4
Reescreva a integral em
:
Substituindo e
na integral original,
Substituindo
Passo 5
Calcule a integral em
:
A primitiva de é
, porque a derivada de
é
. Assim,
A primitiva de
onde
é a constante de integração. Portanto
Passo 6
Volte para a variável
(retro-substituição):
Substituindo de volta,
Substituindo
Passo 7
Verificação rápida (derivada da primitiva):
Derivando temos
Derivando
que é justamente o integrando, então a primitiva está correta.
Passo 8
Dica prática para a prova:
- Sempre procure dentro do seno (ou cosseno, exponencial, etc.) uma função
cuja derivada apareça multiplicando o composto. Se aparecer e o integrando trouxer multiplicando, tente . - Exemplo rápido:
. Faça , , então a integral vira .