Calcule as integrais.
\int x^{2} \operatorname{sen}\left(x^{3}\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x^{2}\operatorname{sen}\!\bigl(x^{3}\bigr)\,dx.
Informações dadas:
  • A variável de integração é x.
  • O integrando é o produto de x^{2} com a função composta \operatorname{sen}\!\bigl(x^{3}\bigr).
    A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=x^{2}\operatorname{sen}\!\bigl(x^{3}\bigr).

Passo 2

Ideia do método (substituição ou mudança de variável):
Quando o integrando tem a forma f\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x), é conveniente fazer a substituição
u=g(x),\qquad du=g'(x)\,dx,
pois isso transforma a integral em \int f(u)\,du, que costuma ser mais simples. Aqui nota-se que a parte interna da função seno é x^{3} e sua derivada é proporcional a x^{2}. Por isso escolhemos a substituição que torna a integral direta.

Passo 3

Escolha a substituição e calcule o diferencial:
Defina
u = x^{3}.
Derivando ambos os lados em relação a x,
du = 3x^{2}\,dx.
Isolando x^{2}\,dx,
x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.

Passo 4

Reescreva a integral em u:
Substituindo u=x^{3} e x^{2}\,dx=\dfrac{1}{3}du na integral original,
\int x^{2}\operatorname{sen}\!\bigl(x^{3}\bigr)\,dx = \int \operatorname{sen}(u)\cdot\frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\int \operatorname{sen}(u)\,du.

Passo 5

Calcule a integral em u:
A primitiva de \operatorname{sen}(u) é -\cos(u), porque a derivada de \cos(u) é -\operatorname{sen}(u). Assim,
\int \operatorname{sen}(u)\,du = -\cos(u)+C,
onde C é a constante de integração. Portanto
\frac{1}{3}\int \operatorname{sen}(u)\,du = \frac{1}{3}\bigl(-\cos(u)\bigr)+C = -\frac{1}{3}\cos(u)+C.

Passo 6

Volte para a variável x (retro-substituição):
Substituindo u=x^{3} de volta,
-\frac{1}{3}\cos(u)+C = -\frac{1}{3}\cos\!\bigl(x^{3}\bigr)+C.

Passo 7

Verificação rápida (derivada da primitiva):
Derivando -\dfrac{1}{3}\cos\!\bigl(x^{3}\bigr) temos
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{3}\cos\!\bigl(x^{3}\bigr)\right) = -\frac{1}{3}\cdot\bigl(-\operatorname{sen}\!(x^{3})\bigr)\cdot 3x^{2} = x^{2}\operatorname{sen}\!\bigl(x^{3}\bigr),
que é justamente o integrando, então a primitiva está correta.

Passo 8

Dica prática para a prova:
  • Sempre procure dentro do seno (ou cosseno, exponencial, etc.) uma função g(x) cuja derivada apareça multiplicando o composto. Se aparecer x^{n} e o integrando trouxer x^{n-1} multiplicando, tente u=x^{n}.
  • Exemplo rápido: \int x\cos(x^{2})\,dx. Faça u=x^{2}, du=2x\,dx, então a integral vira \tfrac{1}{2}\int\cos(u)\,du=\tfrac{1}{2}\sin(u)+C=\tfrac{1}{2}\sin(x^{2})+C.

Resposta

-\dfrac{1}{3}\cos\!\bigl(x^{3}\bigr)+C

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