Calcule as integrais.
\int \frac{1}{3}+\frac{5}{2} \cos (7 x) dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \left(\frac{1}{3}+\frac{5}{2}\cos(7x)\right)\,dx.
Informações dadas:
\text{função a integrar: }\frac{1}{3}+\frac{5}{2}\cos(7x).çã
O que se pede: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\frac{1}{3}+\frac{5}{2}\cos(7x). No final devemos incluir a constante de integração C.

Passo 2

Regra importante que vamos usar: a integral é linear, isto é,
\int \big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx,
e constantes podem ser retiradas:
\int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx,
onde a é constante. Isso permite integrar termo a termo.

Passo 3

Integramos o primeiro termo, que é uma constante:
\int \frac{1}{3}\,dx=\frac{1}{3}\int 1\,dx=\frac{1}{3}x.
Explicação: a integral de 1 em relação a x é x, portanto multiplicamos por \frac{1}{3}.

Passo 4

Agora precisamos da primitiva de \cos(7x). Lembrete útil: a derivada de \sin(7x) é
\frac{d}{dx}\sin(7x)=7\cos(7x),
pela regra da cadeia (derivada de \sin(u) é \cos(u)\cdot u'). Isso nos dá a integral:
\int \cos(7x)\,dx=\frac{1}{7}\sin(7x),
pois ao derivar \frac{1}{7}\sin(7x) voltamos a \cos(7x).

Passo 5

Aplicamos a constante \frac{5}{2} ao resultado da integral de \cos(7x):
\int \frac{5}{2}\cos(7x)\,dx=\frac{5}{2}\int \cos(7x)\,dx=\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{7}\sin(7x)=\frac{5}{14}\sin(7x).

Passo 6

Somando as primitivas dos dois termos e adicionando a constante de integração C, obtemos a antiderivada completa:
F(x)=\frac{x}{3}+\frac{5}{14}\sin(7x)+C.

Passo 7

Verificação rápida por diferenciação: calcule F'(x):
F'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{3}\right)+\frac{d}{dx}\left(\frac{5}{14}\sin(7x)\right) =\frac{1}{3}+\frac{5}{14}\cdot 7\cos(7x)=\frac{1}{3}+\frac{5}{2}\cos(7x),
que é exatamente a função integranda. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{x}{3}+\frac{5}{14}\sin(7x)+C

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