Calcule as integrais pelo método das Frações Parciais.
Caso 1
\int \frac{x^{2}-x+6}{(x+1)(x+4) x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}-x+6}{(x+1)(x+4)x}\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
\text{denominador}=(x+1)(x+4)x,
os fatores do denominador são lineares e distintos ( x, x+1, x+4), e o numerador tem grau 2 enquanto o denominador tem grau 3. A tarefa é encontrar uma primitiva da função racional dada.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática leve): quando temos uma função racional cuja denominação fatorou em fatores lineares distintos, podemos escrever a fração como soma de frações parciais da forma
\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x+4},
onde A, B e C são constantes que vamos determinar. Isso transforma a integral numa soma de integrais simples do tipo \int \frac{1}{x+a}\,dx=\ln|x+a|+C. Primeiro vamos achar A, B e C.

Passo 3

Montamos a identidade de frações parciais:
\frac{x^{2}-x+6}{x(x+1)(x+4)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x+4}.
Multiplicando ambos os lados por x(x+1)(x+4) obtemos a identidade polinomial
x^{2}-x+6 = A(x+1)(x+4) + Bx(x+4) + Cx(x+1).

Passo 4

Vamos expandir cada termo do lado direito para igualar coeficientes. Primeiro expandimos:
A(x+1)(x+4)=A(x^{2}+5x+4)=Ax^{2}+5Ax+4A,
Bx(x+4)=B(x^{2}+4x)=Bx^{2}+4Bx,
Cx(x+1)=C(x^{2}+x)=Cx^{2}+Cx.
Somando:
A(x^{2}+5x+4)+B(x^{2}+4x)+C(x^{2}+x)=(A+B+C)x^{2}+(5A+4B+C)x+4A.
Comparando com x^{2}-x+6 pelos coeficientes dos termos, obtemos o sistema
\begin{cases} A+B+C=1,\\[4pt] 5A+4B+C=-1,\\[4pt] 4A=6. \end{cases}]

Passo 5

Resolvendo o sistema passo a passo: da terceira equação temos
4A=6\implies A=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}.
Substituindo A nas outras duas equações:
\frac{3}{2}+B+C=1\implies B+C=1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2},
5\cdot\frac{3}{2}+4B+C=-1\implies \frac{15}{2}+4B+C=-1\implies 4B+C=-\frac{17}{2}.
Agora eliminamos C: de B+C=-\frac{1}{2} temos C=-\frac{1}{2}-B. Substituindo em 4B+C=-\frac{17}{2}:
4B+\left(-\frac{1}{2}-B\right)=-\frac{17}{2}\implies 3B-\frac{1}{2}=-\frac{17}{2}.
Somando \frac{1}{2} em ambos os lados:
3B=-\frac{17}{2}+\frac{1}{2}=-\frac{16}{2}=-8\implies B=-\frac{8}{3}.
E então
C=-\frac{1}{2}-\left(-\frac{8}{3}\right)=-\frac{1}{2}+\frac{8}{3}=\frac{-3+16}{6}=\frac{13}{6}.
Conferindo rápido: A+B+C=\frac{3}{2}-\frac{8}{3}+\frac{13}{6}=\frac{9-16+13}{6}=\frac{6}{6}=1, ok.

Passo 6

Agora reescrevemos a integral como soma das parciais e integramos termo a termo:
\int \frac{x^{2}-x+6}{x(x+1)(x+4)}\,dx =\int\left(\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x+4}\right)\,dx.
Usando A=\frac{3}{2}, B=-\frac{8}{3}, C=\frac{13}{6}, temos
\int\left(\frac{3/2}{x}-\frac{8/3}{x+1}+\frac{13/6}{x+4}\right)\,dx =\frac{3}{2}\int\frac{dx}{x}-\frac{8}{3}\int\frac{dx}{x+1}+\frac{13}{6}\int\frac{dx}{x+4}.
Lembrando que \int \frac{dx}{x+a}=\ln|x+a|+C, concluímos que uma primitiva é
\frac{3}{2}\ln|x|-\frac{8}{3}\ln|x+1|+\frac{13}{6}\ln|x+4|+C.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}\ln|x|-\frac{8}{3}\ln|x+1|+\frac{13}{6}\ln|x+4|+C

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