Calcule as integrais pelo método das Frações Parciais.
Caso 1 \int \frac{x^{2}-x+6}{(x+1)(x+4) x} d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}-x+6}{(x+1)(x+4)x}\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
\text{denominador}=(x+1)(x+4)x,
os fatores do denominador são lineares e distintos (x, x+1, x+4), e o numerador tem grau 2 enquanto o denominador tem grau 3. A tarefa é encontrar uma primitiva da função racional dada.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática leve): quando temos uma função racional cuja denominação fatorou em fatores lineares distintos, podemos escrever a fração como soma de frações parciais da forma
\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x+4},
onde A, B e C são constantes que vamos determinar. Isso transforma a integral numa soma de integrais simples do tipo \int \frac{1}{x+a}\,dx=\ln|x+a|+C. Primeiro vamos achar A, B e C.