Calcule as integrais.
\int\left(2 \operatorname{cotg}^{2}(\theta)-3 \operatorname{tg}^{2}(\theta)\right) d \theta

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int\left(2\,\operatorname{cotg}^{2}(\theta)-3\,\operatorname{tg}^{2}(\theta)\right)\,d\theta .
Informações dadas:
  • A variável de integração é \theta.
  • O integrando é 2\operatorname{cotg}^2(\theta)-3\operatorname{tg}^2(\theta).
    Observação: o enunciado usa \operatorname{cotg} e \operatorname{tg}; aqui vou tratar \operatorname{cotg}(\theta)=\cot\theta e \operatorname{tg}(\theta)=\tan\theta.

Passo 2

Vamos usar identidades trigonométricas básicas que nos permitem escrever \cot^2\theta e \tan^2\theta em termos de \csc^2\theta e \operatorname{sec}^2\theta. As identidades são:
1+\tan^2\theta=\operatorname{sec}^2\theta\quad\text{e}\quad 1+\cot^2\theta=\csc^2\theta.
Essas são variações do teorema pitagórico para funções trigonométricas; isolando as potências temos:
\tan^2\theta=\operatorname{sec}^2\theta-1,\qquad \cot^2\theta=\csc^2\theta-1.
Aqui \tan\theta é \sin\theta/\cos\theta, \operatorname{sec}\theta=1/\cos\theta, \cot\theta=\cos\theta/\sin\theta e \csc\theta=1/\sin\theta.

Passo 3

Substituo as expressões de \cot^2\theta e \tan^2\theta no integrando:
2\cot^2\theta-3\tan^2\theta =2(\csc^2\theta-1)-3(\operatorname{sec}^2\theta-1).
Agora desenvolvo os parênteses:
2\csc^2\theta-2-3\operatorname{sec}^2\theta+3 =2\csc^2\theta-3\operatorname{sec}^2\theta+1.
Portanto a integral fica
\int\left(2\csc^2\theta-3\operatorname{sec}^2\theta+1\right)\,d\theta.

Passo 4

Uso linearidade da integral (a integral de soma é soma das integrais, constantes saem da integral):
\int\left(2\csc^2\theta-3\operatorname{sec}^2\theta+1\right)\,d\theta =2\int\csc^2\theta\,d\theta-3\int\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta+\int 1\,d\theta.
Isto facilita porque agora só preciso das primitivas de \csc^2\theta, \operatorname{sec}^2\theta e da constante 1.

Passo 5

Recordando derivadas/antiderivadas usuais:
  • A derivada de \tan\theta é \operatorname{sec}^2\theta. Portanto a primitiva de \operatorname{sec}^2\theta é \tan\theta:
\frac{d}{d\theta}\tan\theta=\operatorname{sec}^2\theta \quad\Rightarrow\quad \int\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta=\tan\theta.
(se quiser ver rapidamente: \tan\theta=\sin\theta/\cos\theta; derivando por quociente dá \operatorname{sec}^2\theta.)
  • A derivada de \cot\theta é -\csc^2\theta. Portanto a primitiva de \csc^2\theta é -\cot\theta:
\frac{d}{d\theta}\cot\theta=-\csc^2\theta \quad\Rightarrow\quad \int\csc^2\theta\,d\theta=-\cot\theta.
  • A primitiva de 1 é \theta:
\int 1\,d\theta=\theta.

Passo 6

Agora aplico essas primitivas aos termos com os coeficientes:
2\int\csc^2\theta\,d\theta-3\int\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta+\int 1\,d\theta =2(-\cot\theta)-3(\tan\theta)+\theta + C.
Simplificando:
-2\cot\theta-3\tan\theta+\theta + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Checagem rápida (bom hábito): derivo a expressão encontrada para ver se volto ao integrando. Derivando -2\cot\theta-3\tan\theta+\theta
-2(-\csc^2\theta)-3\operatorname{sec}^2\theta+1=2\csc^2\theta-3\operatorname{sec}^2\theta+1,
e usando \csc^2\theta=1+\cot^2\theta e \operatorname{sec}^2\theta=1+\tan^2\theta volta-se a
2\cot^2\theta-3\tan^2\theta,
que é exatamente o integrando original. Então a primitiva está correta.

Resposta

-2\cot\theta-3\tan\theta+\theta+C

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