Calcule as integrais.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas:
- A variável de integração é
. - O integrando é
.
Observação: o enunciado usae ; aqui vou tratar e .
Passo 2
Vamos usar identidades trigonométricas básicas que nos permitem escrever
e
em termos de
e
. As identidades são:
Essas são variações do teorema pitagórico para funções trigonométricas; isolando as potências temos:
Aqui
é
,
,
e
.
Passo 3
Substituo as expressões de
e
no integrando:
Agora desenvolvo os parênteses:
Portanto a integral fica
Passo 4
Uso linearidade da integral (a integral de soma é soma das integrais, constantes saem da integral):
Isto facilita porque agora só preciso das primitivas de
,
e da constante
.
Passo 5
Recordando derivadas/antiderivadas usuais:
- A derivada de
é . Portanto a primitiva de é :
(se quiser ver rapidamente:
; derivando por quociente dá
.)
- A derivada de
é . Portanto a primitiva de é :
- A primitiva de
é :
Passo 6
Agora aplico essas primitivas aos termos com os coeficientes:
Simplificando:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Checagem rápida (bom hábito): derivo a expressão encontrada para ver se volto ao integrando. Derivando
dá
e usando
e
volta-se a
que é exatamente o integrando original. Então a primitiva está correta.