Calcule as integrais pelo método das Frações Parciais.
Caso 1
\int \frac{x^{3}+5}{(x+1)\left(x^{2}-x+3\right)(x+5)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{3}+5}{(x+1)\left(x^{2}-x+3\right)(x+5)}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O numerador é o polinômio \,x^{3}+5\, (grau 3).
  • O denominador fatorado é (x+1), (x^{2}-x+3) e (x+5). Ou seja, dois fatores lineares distintos e um quadrático irreduzível.
  • O grau do denominador é 1+2+1=4, maior que o grau do numerador (3), portanto a fração já é própria: não precisamos fazer divisão polinomial.
  • A pergunta é: calcular a primitiva (integral indefinida) acima.

Passo 2

Vamos usar decomposição em frações parciais. Para fatores lineares distintos (x+1) e (x+5) usamos constantes no numerador; para o quadrático irreduzível x^{2}-x+3 usamos um numerador linear. Assim suponho uma identidade
\frac{x^{3}+5}{(x+1)(x^{2}-x+3)(x+5)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+5}+\frac{Cx+D}{x^{2}-x+3},
onde A,B,C,D são constantes a determinar.

Passo 3

Multiplico ambos os lados por (x+1)(x^{2}-x+3)(x+5) e obtenho a identidade polinomial
x^{3}+5 = A\,(x^{2}-x+3)(x+5) + B\,(x^{2}-x+3)(x+1) + (Cx+D)(x+1)(x+5).
Usarei valores convenientes de x para achar A e B (método direto tipo Heaviside).
Para x=-1:
(-1)^{3}+5 = -1+5 = 4.
No lado direito, os termos com B e com Cx+D possuem fator (x+1) e ficam nulos. O fator (x^{2}-x+3) em x=-1 vale 1-(-1)+3=5 e (x+5) vale 4. Logo
4 = A\cdot 5\cdot 4 = 20A \quad\Rightarrow\quad A=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}.
Para x=-5:
(-5)^{3}+5 = -125+5 = -120.
O termo com A e o com Cx+D têm (x+5) e ficam nulos. Em x=-5, x^{2}-x+3 = 25-(-5)+3=33 e (x+1)=-4. Logo
-120 = B\cdot 33\cdot(-4) = -132B \quad\Rightarrow\quad B=\frac{120}{132}=\frac{10}{11}.

Passo 4

Agora determinamos C e D. Uma maneira prática é substituir dois valores diferentes de x e resolver o sistema. Escolho x=0 e x=1 por serem cálculos simples.
Para x=0:
0^{3}+5 = 5.
No lado direito:
A\,(0^{2}-0+3)(0+5)=A\cdot 3\cdot 5=15A,
B\,(0^{2}-0+3)(0+1)=B\cdot 3\cdot 1=3B,
(C\cdot 0 + D)(0+1)(0+5)=D\cdot 1\cdot 5=5D.
Logo
5 = 15A + 3B + 5D.
Substituindo A=\dfrac{1}{5} e B=\dfrac{10}{11}:
5 = 15\cdot\frac{1}{5} + 3\cdot\frac{10}{11} + 5D = 3 + \frac{30}{11} + 5D.
Isolando D:
5D = 5 - 3 - \frac{30}{11} = 2 - \frac{30}{11} = \frac{22-30}{11} = -\frac{8}{11},
D = -\frac{8}{11}\cdot\frac{1}{5} = -\frac{8}{55}.

Passo 5

Agora x=1:
1^{3}+5 = 6.
Calcule cada termo no lado direito:
x^{2}-x+3\big|_{x=1}=1-1+3=3,\quad x+5\big|_{x=1}=6,\quad x+1\big|_{x=1}=2.
Portanto
6 = A\cdot 3\cdot 6 + B\cdot 3\cdot 2 + (C\cdot 1 + D)\cdot 2\cdot 6.
Ou seja
6 = 18A + 6B + 12(C + D).
Substituindo A=\dfrac{1}{5}, B=\dfrac{10}{11}, D=-\dfrac{8}{55}:
18A = \frac{18}{5},\qquad 6B = \frac{60}{11},\qquad 12D = 12\cdot\Big(-\frac{8}{55}\Big) = -\frac{96}{55}.
Passando tudo para denominador 55:
\frac{18}{5}=\frac{198}{55},\quad \frac{60}{11}=\frac{300}{55}.
Somando os termos constantes:
18A+6B+12D = \frac{198}{55} + \frac{300}{55} - \frac{96}{55} = \frac{402}{55}.
Logo
6 = \frac{402}{55} + 12C \quad\Rightarrow\quad 12C = 6 - \frac{402}{55} = \frac{330-402}{55} = -\frac{72}{55},
C = -\frac{72}{55}\cdot\frac{1}{12} = -\frac{6}{55}.
Resumo dos coeficientes encontrados:
A=\frac{1}{5},\qquad B=\frac{10}{11},\qquad C=-\frac{6}{55},\qquad D=-\frac{8}{55}.

Passo 6

Reescrevo a integral como soma das frações parciais:
\int \frac{x^{3}+5}{(x+1)(x^{2}-x+3)(x+5)}\,dx = \int \frac{A}{x+1}\,dx + \int \frac{B}{x+5}\,dx + \int \frac{Cx+D}{x^{2}-x+3}\,dx.
Substituindo A,B,C,D:
= \frac{1}{5}\int \frac{dx}{x+1} + \frac{10}{11}\int \frac{dx}{x+5} + \int \frac{-\tfrac{6}{55}x - \tfrac{8}{55}}{x^{2}-x+3}\,dx.
Agora explico como integrar a última parte. Para integrar \dfrac{Cx+D}{x^{2}-x+3} é útil decompor o numerador em uma parte proporcional à derivada do denominador e uma parte constante:
  • Denotando q(x)=x^{2}-x+3 temos q'(x)=2x-1.
  • Procuro constantes \alpha e \beta tais que
Cx+D = \alpha(2x-1) + \beta.
Isso permite escrever
\int \frac{Cx+D}{q(x)}\,dx = \alpha\int \frac{2x-1}{q(x)}\,dx + \beta\int \frac{1}{q(x)}\,dx = \alpha\ln|q(x)| + \beta\int \frac{1}{q(x)}\,dx,
pois \dfrac{2x-1}{q(x)} é exatamente \dfrac{q'(x)}{q(x)}.

Passo 7

Achemos \alpha e \beta a partir de C=-\dfrac{6}{55} e D=-\dfrac{8}{55}.
Comparando coeficientes em
Cx+D = \alpha(2x-1) + \beta = (2\alpha)x + (-\alpha+\beta),
temos o sistema
2\alpha = C = -\frac{6}{55}\quad\Rightarrow\quad \alpha = \frac{C}{2} = -\frac{3}{55},
-\alpha + \beta = D \quad\Rightarrow\quad \beta = D + \alpha = -\frac{8}{55} - \frac{3}{55} = -\frac{11}{55} = -\frac{1}{5}.
Portanto
\int \frac{Cx+D}{q(x)}\,dx = \alpha\ln|q(x)| + \beta\int \frac{1}{q(x)}\,dx = -\frac{3}{55}\ln\big(x^{2}-x+3\big) -\frac{1}{5}\int \frac{dx}{x^{2}-x+3}.
Falta calcular \displaystyle \int \frac{dx}{x^{2}-x+3}. Faço o completamento do quadrado:
x^{2}-x+3 = \left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2} + \left(3 - \tfrac{1}{4}\right) = \left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2} + \tfrac{11}{4}.
Definindo u = x-\tfrac{1}{2} temos du = dx e \tfrac{11}{4} = \left(\tfrac{\sqrt{11}}{2}\right)^{2}. Assim
\int \frac{dx}{x^{2}-x+3} = \int \frac{du}{u^{2} + \left(\tfrac{\sqrt{11}}{2}\right)^{2}} = \frac{1}{\tfrac{\sqrt{11}}{2}} \arctan\!\Big(\frac{u}{\tfrac{\sqrt{11}}{2}}\Big) + C = \frac{2}{\sqrt{11}} \arctan\!\Big(\frac{2u}{\sqrt{11}}\Big).
Voltando a x (lembrando u=x-\tfrac{1}{2} e 2u = 2x-1):
\int \frac{dx}{x^{2}-x+3} = \frac{2}{\sqrt{11}}\arctan\!\Big(\frac{2x-1}{\sqrt{11}}\Big) + C.
Multiplicando pelo \beta=-\dfrac{1}{5} obtemos a contribuição final da parte quadrática:
-\frac{1}{5}\cdot \frac{2}{\sqrt{11}} \arctan\!\Big(\frac{2x-1}{\sqrt{11}}\Big) = -\frac{2}{5\sqrt{11}}\arctan\!\Big(\frac{2x-1}{\sqrt{11}}\Big).

Passo 8

Agora junto todas as partes:
\int \frac{x^{3}+5}{(x+1)(x^{2}-x+3)(x+5)}\,dx = \frac{1}{5}\ln|x+1| + \frac{10}{11}\ln|x+5| - \frac{3}{55}\ln\big(x^{2}-x+3\big) - \frac{2}{5\sqrt{11}}\arctan\!\Big(\frac{2x-1}{\sqrt{11}}\Big) + C,
onde C é a constante de integração. Cada termo foi obtido conforme explicado: os dois primeiros são integrais de funções do tipo \dfrac{1}{x+a}, o terceiro vem da parte proporcional à derivada do denominador quadrático, e o quarto surge da integral do tipo \dfrac{1}{u^{2}+a^{2}}.

Resposta

\frac{1}{5}\ln|x+1|+\frac{10}{11}\ln|x+5|-\frac{3}{55}\ln\big(x^{2}-x+3\big)-\frac{2}{5\sqrt{11}}\arctan\!\Big(\frac{2x-1}{\sqrt{11}}\Big)+C

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