O denominador fatorado é (x+1), (x^{2}-x+3) e (x+5). Ou seja, dois fatores lineares distintos e um quadrático irreduzível.
O grau do denominador é 1+2+1=4, maior que o grau do numerador (3), portanto a fração já é própria: não precisamos fazer divisão polinomial.
A pergunta é: calcular a primitiva (integral indefinida) acima.
Passo 2
Vamos usar decomposição em frações parciais. Para fatores lineares distintos (x+1) e (x+5) usamos constantes no numerador; para o quadrático irreduzível x^{2}-x+3 usamos um numerador linear. Assim suponho uma identidade
Agora determinamos C e D. Uma maneira prática é substituir dois valores diferentes de x e resolver o sistema. Escolho x=0 e x=1 por serem cálculos simples.
Agora explico como integrar a última parte. Para integrar \dfrac{Cx+D}{x^{2}-x+3} é útil decompor o numerador em uma parte proporcional à derivada do denominador e uma parte constante:
onde C é a constante de integração. Cada termo foi obtido conforme explicado: os dois primeiros são integrais de funções do tipo \dfrac{1}{x+a}, o terceiro vem da parte proporcional à derivada do denominador quadrático, e o quarto surge da integral do tipo \dfrac{1}{u^{2}+a^{2}}.