Calcule as integrais:
\int \frac{\cos (x)}{\sqrt{1+\operatorname{sen}(x)}} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\cos(x)}{\sqrt{1+\operatorname{sen}(x)}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é o método de substituição (u-substitution), pois vemos que o numerador é a derivada de algo relacionado ao denominador.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 1 + \operatorname{sen}(x).
Então a derivada de u em relação a x é
du = \cos(x)\,dx.
Note que \cos(x)\,dx aparece exatamente no numerador da integral original.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
\int \frac{\cos(x)}{\sqrt{1+\operatorname{sen}(x)}}\,dx = \int \frac{du}{\sqrt{u}} = \int u^{-\tfrac12}\,du.
Agora basta integrar a potência de u:
\int u^{-\tfrac12}\,du = \frac{u^{\tfrac12}}{\tfrac12} + C = 2\,u^{\tfrac12} + C.

Resposta

2\sqrt{1+\operatorname{sen}(x)} + C.

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