Consideremos agora a função:
g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}
dada por
g(x, y)=10 x^{2} y^{2}-5 x^{2}-4 y^{2}-x^{4}-2 y^{4}
Ao todo, quantos pontos críticos a função \boldsymbol{g} possui?

Passo 1

O enunciado apresenta a função
g(x,y)=10x^{2}y^{2}-5x^{2}-4y^{2}-x^{4}-2y^{4}
definida em \mathbb{R}^{2} e pede o número de pontos críticos, ou seja, as soluções de \nabla g(x,y)=0. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais e resolver \partial g/\partial x=0 e \partial g/\partial y=0.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e fatoramos:
\frac{\partial g}{\partial x} =20xy^{2}-10x-4x^{3} =x\bigl(20y^{2}-10-4x^{2}\bigr),
\frac{\partial g}{\partial y} =20x^{2}y-8y-8y^{3} =y\bigl(20x^{2}-8-8y^{2}\bigr).

Passo 3

Impondo \partial g/\partial x=0 e \partial g/\partial y=0, analisamos primeiro os casos em que x=0 ou y=0:
  • Se x=0, então \partial g/\partial y=-8y(1+y^{2})=0 implica y=0.
  • Se y=0, então \partial g/\partial x=-x(10+4x^{2})=0 implica x=0.
Dessa análise surge apenas o ponto (0,0).

Passo 4

Para x\neq0\) e \(y\neq0\) devemos zerar os segundos fatores: \[\begin{cases} 20y^{2}-4x^{2}-10=0,\\\\ 20x^{2}-8-8y^{2}=0. \end{cases}
Da segunda vem (5x{2}=2+2y{2}], ou seja,
x^{2}=0,4+0,4y^{2}.
Substituindo na primeira:
10y^{2}-2,5=0,4+0,4y^{2} \quad\Longrightarrow\quad 4,6y^{2}=2,9 \quad\Longrightarrow\quad y^{2}=\frac{29}{46},
x^{2}=0,4+0,4\cdot\frac{29}{46}=\frac{15}{23}.
Isso gera quatro pontos simétricos \bigl(\pm\sqrt{15/23},\,\pm\sqrt{29/46}\bigr).

Passo 5

Ao todo existem os quatro pontos do caso não-trivial mais o ponto (0,0), totalizando 5 pontos críticos.

Resposta

A função g possui 5 pontos críticos.

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