Calcule as integrais de linha em campo vetorial:
\int_{C}\left(2+3 x^{2}\right) d x+(1-2 y) d y+\left(z^{3}\right) d z; em que C consiste nos segmentos de reta de (1,1,2) a (1,0,-2) e de (1,0,-2) a (4,3,3).

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha da 1-forma
\omega=(2+3x^{2})\,dx+(1-2y)\,dy+z^{3}\,dz
ao longo da curva C constituída por dois segmentos de reta: de (1,1,2) a (1,0,-2) e de (1,0,-2) a (4,3,3). Vamos usar o fato de que, se \omega for exata (campo conservativo), então
\int_C\omega=F\bigl(\text{ponto final}\bigr)-F\bigl(\text{ponto inicial}\bigr),
onde F é função potencial de \omega.

Passo 2

Verificamos se \omega é exata, checando as derivadas mistas de
P=2+3x^{2},\quad Q=1-2y,\quad R=z^{3}.
As condições são
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},\quad \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x},\quad \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}.
Como todas essas derivadas mistas são zero, concluímos que \omega é conservativa.

Passo 3

Buscamos F(x,y,z) tal que \nabla F=(P,Q,R).
Integramos em x:
\frac{\partial F}{\partial x}=2+3x^{2} \;\Longrightarrow\; F=2x+x^{3}+g(y,z).
Então, em y:
\frac{\partial F}{\partial y}=g_{y}(y,z)=1-2y \;\Longrightarrow\; g(y,z)=y-y^{2}+h(z).
Por fim, em z:
\frac{\partial F}{\partial z}=h'(z)=z^{3} \;\Longrightarrow\; h(z)=\frac{z^{4}}{4}.
Logo a potencial é
F(x,y,z)=2x+x^{3}+y-y^{2}+\frac{z^{4}}{4}.

Passo 4

Avaliar F nos pontos inicial (1,1,2) e final (4,3,3):
F(1,1,2)=2\cdot1+1^{3}+1-1^{2}+\frac{2^{4}}{4}=2+1+0+4=7,
F(4,3,3)=2\cdot4+4^{3}+3-3^{2}+\frac{3^{4}}{4} =8+64-6+\frac{81}{4} =66+\frac{81}{4} =\frac{345}{4}.

Passo 5

Aplicando o teorema fundamental das integrais de linha em campo conservativo:
\int_{C}\omega =F(4,3,3)-F(1,1,2) =\frac{345}{4}-7 =\frac{317}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{317}{4}

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