Estude a posição relativa entre as retas r e s em cada caso.
(a) r:\left\{\begin{array}{l}x=1-\lambda \\\ y=1+\lambda \\\ z=4+2 \lambda\end{array} \quad s: \frac{x-1}{3}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-1}{2}\right.

Passo 1

O enunciado pede a posição relativa entre as retas r e s em \mathbb{R}^3. O conteúdo é posição relativa de retas no espaço e vamos precisar de três etapas:
  1. identificar vetores diretores;
  2. verificar se são paralelos;
  3. tentar encontrar um ponto comum (resolver o sistema paramétrico).

Passo 2

Para r\) já está em forma paramétrica \[r:\;\begin{cases} x = 1 - \lambda,\\\ y = 1 + \lambda,\\\ z = 4 + 2\lambda, \end{cases}
logo o vetor diretor é \mathbf{v}_r =(-1,\,1,\,2)\]. Para \[s usamos parâmetro t em
\frac{x-1}{3} = \frac{y-4}{2} = \frac{z-1}{2} = t,
obtendo
s:\;\begin{cases} x = 1 + 3t,\\\ y = 4 + 2t,\\\ z = 1 + 2t, \end{cases}
e portanto (\mathbf{v}_s =(3,,2,,2)].

Passo 3

Verificamos se \mathbf{v}_r é múltiplo escalar de \mathbf{v}_s. Se existisse k tal que
(-1,1,2)=k\,(3,2,2)
teríamos -1=3k e 1=2k, o que levaria a k=-\tfrac13 e k=\tfrac12, contraditório. Logo não são paralelas.

Passo 4

Tentamos achar interseção impondo
1-\lambda = 1+3t,\quad 1+\lambda = 4+2t,\quad 4+2\lambda = 1+2t.
Da primeira equação: \lambda = -3t. Substituindo na segunda:
1 - 3t = 4 + 2t\;\Longrightarrow\;-5t = 3\;\Longrightarrow\;t = -\tfrac{3}{5},\;\lambda = \tfrac{9}{5}.
Avaliaremos a terceira:
4 + 2\bigl(\tfrac{9}{5}\bigr) = 4 + \tfrac{18}{5} = \tfrac{38}{5}, \quad 1 + 2\bigl(-\tfrac{3}{5}\bigr) = 1 - \tfrac{6}{5} = -\tfrac{1}{5}.
Como \tfrac{38}{5}\neq -\tfrac{1}{5}, não há ponto comum.

Passo 5

Não são paralelas e não se intersectam em nenhum ponto. Portanto são retas reversas (skew lines).

Resposta

As retas r e s são reversas (não coplanares e sem ponto em comum).

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