Determine as derivadas parciais de 1^{a} ordem das funções vetoriais.
\vec{p}(x, y)=\left(e^{2 x}, x y e^{3 x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função vetorial
\vec{p}(x,y) = \bigl(e^{2x},\,x y e^{3x}\bigr).
O conteúdo exigido é derivada parcial componente a componente, aplicando regra da cadeia e, no caso do produto x y e^{3x}, a regra do produto.

Passo 2

Queremos \displaystyle \frac{\partial \vec{p}}{\partial x}. Derivando cada componente em relação a x:
A primeira componente é e^{2x}. Como
\frac{\partial}{\partial x}e^{2x} = 2e^{2x},
temos o resultado parcial para ela.
A segunda componente é x y e^{3x}. Aqui usamos regra do produto entre x y e e^{3x}:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x y e^{3x}\bigr) = \Bigl(\frac{\partial}{\partial x}(x y)\Bigr)e^{3x} + x y \Bigl(\frac{\partial}{\partial x}e^{3x}\Bigr).
Como \frac{\partial}{\partial x}(x y)=y e \frac{\partial}{\partial x}e^{3x}=3e^{3x}, segue
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x y e^{3x}\bigr) = y\,e^{3x} + 3x y\,e^{3x} = (1+3x)\,y\,e^{3x}.
Portanto
\frac{\partial \vec{p}}{\partial x} = \bigl(2e^{2x},\,(1+3x)y\,e^{3x}\bigr).

Passo 3

Agora calculamos \displaystyle \frac{\partial \vec{p}}{\partial y}. Derivando cada componente em relação a y:
A primeira componente e^{2x} não depende de y, logo
\frac{\partial}{\partial y}e^{2x} = 0.
A segunda componente é x y e^{3x}. Agora e^{3x} é constante em relação a y e \frac{\partial}{\partial y}(x y)=x, daí
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x y e^{3x}\bigr) = x\,e^{3x}.
Logo
\frac{\partial \vec{p}}{\partial y} = \bigl(0,\;x\,e^{3x}\bigr).

Resposta

\frac{\partial \vec{p}}{\partial x} = \bigl(2e^{2x},\,(1+3x)y\,e^{3x}\bigr), \quad \frac{\partial \vec{p}}{\partial y} = \bigl(0,\;x\,e^{3x}\bigr).

Exercícios relacionados