Dada a função \overrightarrow{\mathrm{f}}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\left(\mathrm{e}^{\mathrm{xy}}, \mathrm{e}^{\mathrm{yz}}, \mathrm{e}^{\mathrm{xz}}\right), encontrar \frac{\partial \overrightarrow{\mathrm{f}}}{\partial \mathrm{x}}+\frac{\partial \overrightarrow{\mathrm{f}}}{\partial \mathrm{y}}+\frac{\partial \overrightarrow{\mathrm{f}}}{\partial \mathrm{z}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma dos vetores-parciais
\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{f}}{\partial x}, \displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{f}}{\partial y} e \displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{f}}{\partial z}
onde
\displaystyle \overrightarrow{f}(x,y,z) = \bigl(e^{xy},\,e^{yz},\,e^{xz}\bigr).
O conteúdo aqui é derivada parcial de função vetorial: a gente deriva cada componente separadamente em relação à variável escolhida, usando regra da cadeia quando precisar.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{f}}{\partial x}.
  • Na primeira componente, \partial_x e^{xy} = y\,e^{xy} (regra da cadeia).
  • Na segunda, \partial_x e^{yz}=0 pois não depende de x.
  • Na terceira, \partial_x e^{xz}=z\,e^{xz}.
    Logo
\frac{\partial \overrightarrow{f}}{\partial x} = \bigl(y\,e^{xy},\,0,\,z\,e^{xz}\bigr).

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{f}}{\partial y}.
  • Na primeira componente, \partial_y e^{xy}=x\,e^{xy}.
  • Na segunda, \partial_y e^{yz}=z\,e^{yz}.
  • Na terceira, \partial_y e^{xz}=0.
    Logo
\frac{\partial \overrightarrow{f}}{\partial y} = \bigl(x\,e^{xy},\,z\,e^{yz},\,0\bigr).

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{f}}{\partial z}.
  • Na primeira componente, \partial_z e^{xy}=0.
  • Na segunda, \partial_z e^{yz}=y\,e^{yz}.
  • Na terceira, \partial_z e^{xz}=x\,e^{xz}.
    Logo
\frac{\partial \overrightarrow{f}}{\partial z} = \bigl(0,\,y\,e^{yz},\,x\,e^{xz}\bigr).

Passo 5

Somar componente a componente:
\frac{\partial \overrightarrow{f}}{\partial x} +\frac{\partial \overrightarrow{f}}{\partial y} +\frac{\partial \overrightarrow{f}}{\partial z} = \bigl(y\,e^{xy}+x\,e^{xy}+0,\;0+z\,e^{yz}+y\,e^{yz},\;z\,e^{xz}+0+x\,e^{xz}\bigr).
Agrupando fatores semelhantes:
= \bigl((x+y)\,e^{xy},\,(y+z)\,e^{yz},\,(x+z)\,e^{xz}\bigr).

Resposta

\frac{\partial \overrightarrow{f}}{\partial x} +\frac{\partial \overrightarrow{f}}{\partial y} +\frac{\partial \overrightarrow{f}}{\partial z} = \bigl((x+y)\,e^{xy},\,(y+z)\,e^{yz},\,(x+z)\,e^{xz}\bigr).

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