Calcule as integrais
\int \frac{3 d x}{\sqrt{1+9 x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{3\,dx}{\sqrt{1+9x^{2}}}.
O conteúdo envolvido é integração por substituição, reconhecendo a forma padrão \displaystyle \int \frac{du}{\sqrt{1+u^{2}}}=\operatorname{arcsinh}(u)+C.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 3x, \quad du = 3\,dx \quad\Longrightarrow\quad 3\,dx = du.
Com isso, o integrando em x se transforma em um integrando em u.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int \frac{3\,dx}{\sqrt{1+9x^{2}}} = \int \frac{du}{\sqrt{1+u^{2}}}.
Sabemos que
\int \frac{du}{\sqrt{1+u^{2}}} = \operatorname{arcsinh}(u) + C.

Passo 4

Voltando à variável original x (isto é, u=3x), concluímos que
\int \frac{3\,dx}{\sqrt{1+9x^{2}}} = \operatorname{arcsinh}(3x) + C.

Resposta

\operatorname{arcsinh}(3x) + C
ou, equivalentemente, \ln\bigl(3x + \sqrt{1+9x^{2}}\bigr) + C.

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