Calcule as integrais
\int \sqrt{1-9 t^{2}} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \sqrt{1 - 9t^{2}}\,dt.
Este tipo de integral cai na forma \int \sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx, e a técnica clássica é usar uma substituição trigonométrica. Vamos tomar 3t = \sin\theta de modo a transformar a raiz em cosseno.

Passo 2

Fazendo a substituição
t = \frac{1}{3}\sin\theta, \quad dt = \frac{1}{3}\cos\theta\,d\theta,
temos
\sqrt{1 - 9t^{2}} = \sqrt{1 - \sin^{2}\theta} = \cos\theta.
Então a integral vira
\int \sqrt{1 - 9t^{2}}\,dt = \int \cos\theta \,\Bigl(\tfrac{1}{3}\cos\theta\,d\theta\Bigr) = \frac{1}{3}\int \cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 3

Para integrar \cos^{2}\theta usamos a identidade de ângulo duplo:
\cos^{2}\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}.
Logo
\frac{1}{3}\int \cos^{2}\theta\,d\theta = \frac{1}{3}\int \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{1}{6}\int (1 + \cos(2\theta))\,d\theta = \frac{1}{6}\Bigl(\theta + \tfrac{1}{2}\sin(2\theta)\Bigr) + C.

Passo 4

Volta para t: \theta = \arcsin(3t) e \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta = 2\,(3t)\,\sqrt{1 - 9t^{2}} = 6t\sqrt{1 - 9t^{2}}.
Substituindo, obtemos
\int \sqrt{1-9t^{2}}\,dt = \frac{1}{6}\,\arcsin(3t) + \frac{1}{6}\,\frac{\sin(2\theta)}{2} + C = \frac{1}{6}\arcsin(3t) + \frac{1}{12}\bigl(6t\sqrt{1-9t^{2}}\bigr) + C.
Simplificando o segundo termo dá
\frac{1}{12}\times 6t\sqrt{1-9t^{2}} = \frac{t}{2}\,\sqrt{1-9t^{2}}.

Resposta

\int \sqrt{1-9t^{2}}\,dt = \frac{t}{2}\,\sqrt{1-9t^{2}} + \frac{1}{6}\,\arcsin(3t) + C.

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