QUESTÃO 4 (2,5 pts.) - Se C é descrito por z(t)=\sqrt{2} e^{i t}, 0 \leq t \leq 2 \pi, calcule considerando o sentido antihorário (positivo):
\oint_{C} \operatorname{Im}\{z\} d z

Passo 1

O enunciado pede o valor do integral de linha
\oint_{C}\Im\{z\}\,dz
onde C é a circunferência z(t)=\sqrt{2}\,e^{it}, 0\le t\le2\pi, orientada no sentido anti-horário. Para resolver, vamos usar parametrização de curvas em \mathbb{C}: escrever z e dz em função de t, expressar \Im\{z\} e então calcular o integral em t.

Passo 2

Parametrizando z por t:
z(t)=\sqrt{2}\,e^{it}, \quad dz = z'(t)\,dt = i\sqrt{2}\,e^{it}\,dt.
Além disso, a parte imaginária de z é
\Im\{z(t)\} = \sqrt{2}\,\sin t.

Passo 3

Substituindo na integral de linha, obtemos
\oint_{C}\Im\{z\}\,dz = \int_{0}^{2\pi}\Bigl(\sqrt{2}\sin t\Bigr)\,\bigl(i\sqrt{2}\,e^{it}\bigr)\,dt =2i\int_{0}^{2\pi}\sin t\,e^{it}\,dt.
Para simplificar \sin t\,e^{it}, usamos a identidade
\sin t = \frac{e^{it}-e^{-it}}{2i} \quad\Longrightarrow\quad \sin t\,e^{it} = \frac{e^{2it}-1}{2i}.
Logo
2i\int_{0}^{2\pi}\sin t\,e^{it}\,dt =2i\int_{0}^{2\pi}\frac{e^{2it}-1}{2i}\,dt =\int_{0}^{2\pi}\bigl(e^{2it}-1\bigr)\,dt.

Passo 4

Agora calculamos separadamente:
\int_{0}^{2\pi}e^{2it}\,dt =\left[\frac{e^{2it}}{2i}\right]_{0}^{2\pi} =\frac{e^{4\pi i}-1}{2i} =\frac{1-1}{2i} =0,
\int_{0}^{2\pi}(-1)\,dt = -2\pi.
Somando, o integral total vale -2\pi.

Resposta

-2\pi

Exercícios relacionados