QUESTÃo 1\left(2,5\right. pts.) - Suponha que 0 \leq t \leq 2 \pi, f(z)=z^{2}+1. Integre f(z) ao longo de um circulo unitário.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha
\oint_C f(z)\,dz
onde f(z)=z^2+1 e C é o círculo unitário orientado positivamente, parametrizado por z=e^{it}, 0\le t\le2\pi. O conteúdo é integrais de funções holomorfas em caminhos fechados, aplicando o Teorema de Cauchy ou fazendo parametrização direta.

Passo 2

Pelo Teorema de Cauchy, como f é inteira (holomorfa em todo \mathbb{C}), a integral sobre qualquer caminho fechado é zero. Logo
\oint_C f(z)\,dz = 0.

Passo 3

Para conferir, parametrizamos C por z=e^{it}. Então
dz = i e^{it}\,dt, \quad f(z) = z^2+1 = e^{2it}+1.
Substituindo na integral, obtemos
\oint_C f(z)\,dz = \int_0^{2\pi}(e^{2it}+1)\,i e^{it}\,dt = i\int_0^{2\pi}(e^{3it}+e^{it})\,dt.

Passo 4

Usamos que
\int_0^{2\pi}e^{kit}\,dt = 0 \quad\text{para todo inteiro }k\neq0.
Assim
\int_0^{2\pi}e^{3it}\,dt = 0 \quad\text{e}\quad \int_0^{2\pi}e^{it}\,dt = 0,
logo
\oint_C f(z)\,dz = i\bigl(0+0\bigr) = 0.

Resposta

A integral vale 0.

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