Considere a regiào R do plano delimitada pelas curvas y=\frac{2}{x} e y=\frac{4}{x^{2}}, junto com as \underset{A}{\operatorname{retas} x}=1 e x=4.
a. ( 1,5 ponto) Esboce a regilo R, destacando os pontos notáveis da mesma, incluindo suas coordenadas.
b. (1,0 ponto) Calcule a área de \Re.

Passo 1

O enunciado pede que a gente trabalhe com a região R do plano limitada pelas curvas
y = \frac{2}{x}, \quad y = \frac{4}{x^2}, \quad x = 1, \quad x = 4.
Na parte (a) precisamos esboçar R e destacar os pontos notáveis com suas coordenadas. Na parte (b) queremos calcular a área de R. O método para a área é usar integrais definidas da diferença entre as curvas.

Passo 2

Primeiro encontramos as interseções entre as duas curvas:
\frac{2}{x} \;=\;\frac{4}{x^2} \quad\Longrightarrow\quad 2x^2 = 4x \quad\Longrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad x=2.
Desprezamos x=0 (fora do nosso intervalo). Assim em x=2 temos
y = \frac{2}{2}=1,
logo o ponto de interseção é (2,1).
Em x=1:
y=\frac{2}{1}=2,\quad y=\frac{4}{1^2}=4,
pontos (1,2) e (1,4).
Em x=4:
y=\frac{2}{4}=0,5,\quad y=\frac{4}{4^2}=0,25,
pontos \bigl(4,0.5\bigr) e \bigl(4,0.25\bigr).

Passo 3

Para esboçar R:
  • Em 1\le x\le 2, verifica-se que \tfrac{4}{x^2}\ge\tfrac{2}{x}, então a fronteira superior é y=\tfrac{4}{x^2} e a inferior é y=\tfrac{2}{x}.
  • Em 2\le x\le 4, ocorre o inverso: \tfrac{2}{x}\ge\tfrac{4}{x^2}, então a fronteira superior é y=\tfrac{2}{x} e a inferior é y=\tfrac{4}{x^2}.
    Marcamos os pontos notáveis:
(1,4),\;(1,2),\;(2,1),\;(4,0.5),\;(4,0.25).

Passo 4

A área de R é a soma de duas integrais, separadas em x=2:
\text{Área} =\int_{1}^{2}\Bigl(\tfrac{4}{x^2}-\tfrac{2}{x}\Bigr)\,dx +\int_{2}^{4}\Bigl(\tfrac{2}{x}-\tfrac{4}{x^2}\Bigr)\,dx.Á

Passo 5

Calculamos cada integral. Para \displaystyle\int \tfrac{4}{x^2}\,dx = -\frac{4}{x} e \displaystyle\int \tfrac{2}{x}\,dx = 2\ln x.
  1. \displaystyle\int_{1}^{2}\Bigl(\tfrac{4}{x^2}-\tfrac{2}{x}\Bigr)\,dx =\Bigl[-\tfrac{4}{x}-2\ln x\Bigr]_{1}^{2} =\bigl(-2-2\ln2\bigr)-\bigl(-4-0\bigr) =2-2\ln2. 2. \displaystyle\int_{2}^{4}\Bigl(\tfrac{2}{x}-\tfrac{4}{x^2}\Bigr)\,dx =\Bigl[2\ln x+\tfrac{4}{x}\Bigr]_{2}^{4} =\bigl(4\ln2+1\bigr)-\bigl(2\ln2+2\bigr) =2\ln2-1. Somando,
\text{Área} = (2-2\ln2)+(2\ln2-1)=1.Á

Resposta

A área da região R é igual a 1.

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