Calcule as integrais
\int \frac{d x}{x^{2} \sqrt{x^{2}-1}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{x^{2}-1}}.
O conteúdo aqui é integração por substituição trigonométrica, já que aparece \sqrt{x^{2}-1}. Vamos usar a mudança que transforma essa raiz em função trigonométrica simples.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = \operatorname{sec}\theta,
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dx = \operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta \quad\text{e}\quad \sqrt{x^{2}-1} = \sqrt{\operatorname{sec}^{2}\theta -1} = \tan\theta.
Além disso, x^{2} = \operatorname{sec}^{2}\theta.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{x^{2}-1}} = \int \frac{\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta}{\operatorname{sec}^{2}\theta\;\tan\theta} = \int \frac{\operatorname{sec}\theta}{\operatorname{sec}^{2}\theta}\,d\theta = \int \frac{1}{\operatorname{sec}\theta}\,d\theta = \int \cos\theta\,d\theta.

Passo 4

A integral de \cos\theta é direta:
\int \cos\theta\,d\theta = \sin\theta + C.

Passo 5

Fazendo a volta à variável x, da substituição x=\operatorname{sec}\theta temos
\sin\theta = \sqrt{1-\cos^{2}\theta} = \sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}} = \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}.
Portanto a primitiva fica
\sin\theta + C = \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x} + C.

Resposta

\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{x^{2}-1}} = \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x} + C.

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