Encontre a solução geral, usando o método de variação de parâmetros para determinar a solução particular, das seguintes equações:
t^{2} \ddot{y}-2 \dot{y}+2 y=t^{4}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
t^{2}\,\ddot y - 2\,t\,\dot y + 2\,y = t^{4},
usando o método de variação de parâmetros para encontrar a parte particular.
Este é um caso de equação de Euler–Cauchy, em que o termo de primeira derivada vem multiplicado por t. Para resolver, primeiro achamos a solução geral da homogênea (efeito “Cauchy”) e depois aplicamos variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

Encontramos a solução da homogênea
t^{2}\,\ddot y - 2\,t\,\dot y + 2\,y = 0
por meio do ansatz y=t^{m}. Substituindo:
t^{2}\bigl(m(m-1)t^{m-2}\bigr)-2\,t\bigl(m\,t^{m-1}\bigr)+2\,t^{m}=0 \;\Longrightarrow\; \bigl(m(m-1)-2m+2\bigr)t^{m}=0
e a equação característica fica
m(m-1)-2m+2 = m^2 -3m +2 = 0 \;\Longrightarrow\; m=1\quad\text{ou}\quad m=2.
Logo, a solução geral da homogênea é
y_{h}(t) = C_{1}\,t^{1} + C_{2}\,t^{2}.

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros, tomamos
y_{p}(t)=u_{1}(t)\,t + u_{2}(t)\,t^{2},
onde u_{1} e u_{2} satisfazem
\begin{cases} u_{1}'(t)\,t + u_{2}'(t)\,t^{2} = 0,\\\ u_{1}'(t)\,\bigl(t'\bigr) + u_{2}'(t)\,\bigl((t^{2})'\bigr) = \dfrac{t^{4}}{t^{2}} = t^{2}, \end{cases}
isto é,
\begin{cases} u_{1}'\,t + u_{2}'\,t^{2} = 0,\\\ u_{1}'\,(1) + u_{2}'\,(2t) = t^{2}. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema para u_{1}' e u_{2}':
do primeiro u_{1}' = -u_{2}'\,t. Substituindo no segundo,
(-u_{2}'\,t)\cdot1 + u_{2}'\,(2t) = t^{2} \;\Longrightarrow\; u_{2}'\,(2t - t) = t^{2} \;\Longrightarrow\; u_{2}'\,t = t^{2} \;\Longrightarrow\; u_{2}' = t.
Então
u_{2}(t)=\int t\,dt = \tfrac{t^{2}}{2}, \quad u_{1}'(t) = -t\,u_{2}'(t) = -t\cdot t = -t^{2}, \quad u_{1}(t)=\int -t^{2}\,dt = -\tfrac{t^{3}}{3}.

Passo 5

Agora a solução particular é
y_{p}(t) = u_{1}(t)\,t + u_{2}(t)\,t^{2} = \Bigl(-\tfrac{t^{3}}{3}\Bigr)\,t + \Bigl(\tfrac{t^{2}}{2}\Bigr)\,t^{2} = -\tfrac{t^{4}}{3} + \tfrac{t^{4}}{2} = \tfrac{1}{6}\,t^{4}.

Resposta

A solução geral é
\boxed{y(t) = C_{1}\,t + C_{2}\,t^{2} + \tfrac{1}{6}\,t^{4}.}

Exercícios relacionados