Determine o número total de diagonais e o número de diagonais que passam pelo centro de um polígono regular de
48 lados.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para um polígono regular com 48 lados: o número total de diagonais e o número de diagonais que passam pelo centro. Vamos usar a fórmula combinatória para contar as diagonais e, em seguida, explorar a simetria de um polígono regular para identificar quais delas atravessam o centro.

Passo 2

O número total de diagonais de um polígono de n lados é dado por
D = \frac{n(n - 3)}{2}.
Substituindo n = 48:
D = \frac{48 \cdot (48 - 3)}{2} = \frac{48 \cdot 45}{2} = 1080.

Passo 3

Num polígono regular, uma diagonal passa pelo centro se e somente se seus extremos são vértices diametralmente opostos. Isso só existe quando n é par. Como 48 é par, cada vértice tem exatamente um oposto, gerando
\frac{48}{2} = 24
diagonais que atravessam o centro.

Resposta

Número total de diagonais: 1080
Número de diagonais que passam pelo centro: 24

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