Encontre a solução geral, usando o método de variação de parâmetros para determinar a solução particular, das seguintes equações:
t^{2} \ddot{y}+t \dot{y}-y=4

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Euler–Cauchy
t^{2}\ddot y + t\dot y - y = 4,
e pede a solução geral usando o método de variação de parâmetros para obter a solução particular. Vamos precisar (1) encontrar a solução geral da equação homogênea associada, (2) escrever a equação na forma padrão y''+p(t)y'+q(t)y=g(t), e (3) aplicar a variação de parâmetros.

Passo 2

Procuramos a solução da homogênea
t^{2}\ddot y + t\dot y - y = 0
via o palpite y = t^{r}. Substituindo:
t^{2}\,r(r-1)t^{r-2} + t\cdot r\,t^{r-1} - t^{r} = \bigl(r(r-1)+r-1\bigr)t^{r} = (r^{2}-1)t^{r} = 0.
Logo r^{2}-1=0 r=1 ou r=-1. As duas soluções linearmente independentes são
y_{1}(t)=t, \quad y_{2}(t)=t^{-1}.

Passo 3

Dividimos a equação original por t^{2} (para t>0) e obtemos a forma padrão
y'' + \frac{1}{t}y' - \frac{1}{t^{2}}y = \frac{4}{t^{2}}.
Denotemos g(t)=4/t^{2}. O Wronskiano de y_{1},y_{2} é
W(t)= \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} t & t^{-1}\\\\ 1 & -t^{-2} \end{vmatrix} =-t\cdot t^{-2}-1\cdot t^{-1}=-2t^{-1}.
Para variação de parâmetros, definimos funções u_{1}(t) e u_{2}(t) tais que
u_{1}'=-\frac{y_{2}\,g(t)}{W(t)}, \quad u_{2}'=\frac{y_{1}\,g(t)}{W(t)}.

Passo 4

Calculamos
u_{1}'=-\frac{t^{-1}\,\frac{4}{t^{2}}}{-2t^{-1}} =\frac{4t^{-3}}{2t^{-1}}=2t^{-2},
u_{2}'=\frac{t\,\frac{4}{t^{2}}}{-2t^{-1}} =\frac{4t^{-1}}{-2t^{-1}}=-2.
Integrando, achamos
u_{1}(t)=\int 2t^{-2}dt=-2t^{-1}, \quad u_{2}(t)=\int(-2)\,dt=-2t.
A solução particular é
y_{p}(t)=u_{1}(t)y_{1}(t)+u_{2}(t)y_{2}(t) =(-2t^{-1})\cdot t+(-2t)\cdot t^{-1}=-2-2=-4.

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=C_{1}y_{1}(t)+C_{2}y_{2}(t)+y_{p}(t) =C_{1}t + C_{2}t^{-1} - 4.

Resposta

y(t)=C_{1}t + C_{2}\frac{1}{t} - 4.

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