Calcule as integrais:
\int \frac{1}{\left(t^{2}-1\right)^{2}} d t

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{1}{(t^2-1)^2}\,dt
O conteúdo aqui é integração de função racional, e vamos usar o método de frações parciais.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
t^2-1=(t-1)(t+1),
então
\frac{1}{(t^2-1)^2} =\frac{1}{(t-1)^2\,(t+1)^2}
e propomos a decomposição
\frac{1}{(t-1)^2\,(t+1)^2} =\frac{A}{t-1}+\frac{B}{(t-1)^2}+\frac{C}{t+1}+\frac{D}{(t+1)^2}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (t-1)^2(t+1)^2 obtemos
1 = A\,(t-1)\,(t+1)^2 + B\,(t+1)^2 + C\,(t+1)\,(t-1)^2 + D\,(t-1)^2.
Para achar B e D, fazemos t=1 e t=-1:
  • Se t=1: 1 = B\cdot(2)^2 \implies B=\tfrac14.
  • Se t=-1: 1 = D\cdot(-2)^2\implies D=\tfrac14.
    Para A e C, note que não há termo em t^3 no lado esquerdo, então o coeficiente de t^3 no lado direito deve ser zero. Expandindo só os termos em t^3 vem
A + C = 0 \quad\Longrightarrow\quad C=-A.
Também avaliando a expressão em, por exemplo, t=0, ou comparando constantes, obtém-se
C - A = \tfrac12\quad\Longrightarrow\quad -A - A = \tfrac12\implies A=-\tfrac14,\quad C=\tfrac14.

Passo 4

Então a decomposição fica
\frac{1}{(t^2-1)^2} =-\frac{1}{4}\,\frac{1}{t-1} +\frac{1}{4}\,\frac{1}{(t-1)^2} +\frac{1}{4}\,\frac{1}{t+1} +\frac{1}{4}\,\frac{1}{(t+1)^2}.

Passo 5

Agora integramos termo a termo, usando
\displaystyle\int\frac{1}{t-a}\,dt=\ln|t-a| e
\displaystyle\int\frac{1}{(t-a)^2}\,dt=-\frac{1}{t-a}:
\int \frac{1}{(t^2-1)^2}\,dt =-\frac{1}{4}\ln|t-1| +\frac{1}{4}\Bigl(-\frac{1}{t-1}\Bigr) +\frac{1}{4}\ln|t+1| +\frac{1}{4}\Bigl(-\frac{1}{t+1}\Bigr) + C.

Passo 6

Juntando os logaritmos e simplificando os termos racionais, note que
-\frac{1}{4}\ln|t-1|+\frac{1}{4}\ln|t+1| =\frac{1}{4}\ln\Bigl|\frac{t+1}{t-1}\Bigr|,
e
-\frac{1}{4}\Bigl(\frac{1}{t-1}+\frac{1}{t+1}\Bigr) =-\frac{1}{4}\,\frac{2t}{t^2-1} =-\frac{t}{2(t^2-1)}.

Resposta

\boxed{\int \frac{1}{(t^2-1)^2}\,dt =\frac{1}{4}\ln\Bigl|\frac{t+1}{t-1}\Bigr| -\frac{t}{2(t^2-1)}+C.}

Exercícios relacionados