Existe k \in \mathbb{R} de modo que a função
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x y}{x^{2}+x y+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\ k, & \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array}\right.
seja contínua em (0,0) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{x\,y}{x^{2}+x\,y+y^{2}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] k,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pergunta se existe k\in\mathbb{R} que torne f contínua em (0,0). O conteúdo envolvido é limite em duas variáveis e continuidade.]

Passo 2

Para que f seja contínua em (0,0), é preciso que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)
exista e seja igual a f(0,0)=k.

Passo 3

Vamos avaliar o limite ao longo de retas que passam pela origem: y= m\,x, com m fixo. Substituindo em f(x,y), temos
f(x,mx) = \frac{x\,(m x)}{x^{2}+x\,(m x)+(m x)^{2}} = \frac{m\,x^{2}}{x^{2}\bigl(1+m+m^{2}\bigr)} = \frac{m}{1+m+m^{2}}.
À medida que x\to0, esse valor tende a \tfrac{m}{1+m+m^{2}}, que depende de m.

Passo 4

Como a expressão \tfrac{m}{1+m+m^{2}} varia conforme a inclinação m da reta de aproximação, o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) não é único. Logo, não existe um valor de k que iguale o limite em todas as direções.

Resposta

Não existe valor de k que torne f contínua em (0,0).

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