Write out the form of the partial fraction decomposition of the function (as in Example 7). Do not determine the numerical values of the coefficients.
\frac{1}{x^{6}-x^{3}}\'

Passo 1

O enunciado nos pede a forma da decomposição em frações parciais de
\frac{1}{x^{6}-x^{3}}.
O conteúdo envolve fatorar o denominador e separar em frações sobre cada fator linear ou quadrático irreduzível.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^{6}-x^{3} \;=\; x^{3}\,(x^{3}-1)\;=\;x^{3}\,(x-1)\,(x^{2}+x+1).
Como há um fator linear repetido x de ordem 3, um fator linear simples x-1 e um fator quadrático irreduzível x^{2}+x+1, a forma geral da decomposição é
\frac{1}{x^{6}-x^{3}} = \frac{A}{x} +\frac{B}{x^{2}} +\frac{C}{x^{3}} +\frac{D}{x-1} +\frac{Ex+F}{x^{2}+x+1},
onde A,B,C,D,E,F são constantes a determinar.

Resposta

\frac{1}{x^{6}-x^{3}} = \frac{A}{x} +\frac{B}{x^{2}} +\frac{C}{x^{3}} +\frac{D}{x-1} +\frac{Ex+F}{x^{2}+x+1}.

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