Write out the form of the partial fraction decomposition of the function (as in Example 7). Do not determine the numerical values of the coefficients.
\frac{x^{4}}{\left(x^{3}+x\right)\left(x^{2}-x+3\right)}

Passo 1

O enunciado pede a forma da decomposição em frações parciais da função
\dfrac{x^{4}}{\bigl(x^{3}+x\bigr)\bigl(x^{2}-x+3\bigr)}.
O conteúdo aqui é decomposição em frações parciais, e vamos precisar fatorar o denominador e usar numeradores lineares para cada fator quadrático.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador memorando que
x^{3}+x = x\,(x^{2}+1),
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\bigl(x^{3}+x\bigr)\bigl(x^{2}-x+3\bigr) = x\,(x^{2}+1)\,(x^{2}-x+3).

Passo 3

Como x é um fator linear simples e x^{2}+1, x^{2}-x+3 são quadráticos irreduzíveis, a forma geral da decomposição em frações parciais é
\frac{x^{4}}{x\,(x^{2}+1)\,(x^{2}-x+3)} = \frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2}+1} + \frac{D x + E}{x^{2}-x+3},
onde A,B,C,D,E são constantes a determinar.

Resposta

\frac{x^{4}}{\bigl(x^{3}+x\bigr)\bigl(x^{2}-x+3\bigr)} = \frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2}+1} + \frac{D x + E}{x^{2}-x+3}

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