Calcule as integrais:
\int \frac{(\ln 3 x)^{2}}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{(\ln(3x))^{2}}{x}\,dx.
Isso é uma integral indefinida em que aparece uma função do tipo (\ln(3x))^{2} multiplicada por 1/x. O truque clássico aqui é usar substituição para eliminar o \ln(3x) e o 1/x\,dx.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \ln(3x).
Como u=\ln(3x), basta derivar:
du = \frac{1}{3x}\cdot 3\,dx = \frac{1}{x}\,dx.
Logo, dx/x = du e todo o integrando em termos de x passa a ser em termos de u.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int \frac{(\ln(3x))^{2}}{x}\,dx = \int u^{2}\,du.
Agora é uma integral de potência simples.

Passo 4

Calculamos
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3} + C.
Voltando à variável original x, como u=\ln(3x), obtemos
\frac{u^{3}}{3} + C = \frac{\bigl(\ln(3x)\bigr)^{3}}{3} + C.

Resposta

\int \frac{(\ln(3x))^{2}}{x}\,dx = \frac{\bigl(\ln(3x)\bigr)^{3}}{3} + C.

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