Calcule as integrais:
\int \frac{x^{3}}{\left(x^{2}+4\right)^{\frac{3}{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x^{3}}{(x^{2}+4)^{3/2}}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de funções racionais em x com potência de radicais. Vamos usar a técnica de decomposição do numerador e a substituição u=x^2+4, o que nos levará a integrais do tipo \int u^{-1/2}du e \int u^{-3/2}du.

Passo 2

Escrevemos x^3 = x\,(x^2+4-4) para quebrar o integrando:
\frac{x^{3}}{(x^{2}+4)^{3/2}} = x\,\frac{x^2+4-4}{(x^{2}+4)^{3/2}} = \frac{x}{(x^{2}+4)^{1/2}} -4\,\frac{x}{(x^{2}+4)^{3/2}}.
Assim
\int \frac{x^{3}}{(x^{2}+4)^{3/2}}\,dx = \int \frac{x}{(x^{2}+4)^{1/2}}\,dx -4\int \frac{x}{(x^{2}+4)^{3/2}}\,dx.

Passo 3

Para \displaystyle \int \frac{x}{(x^{2}+4)^{1/2}}\,dx, faça u=x^2+4 e du=2x\,dx. Então
\int \frac{x}{(x^{2}+4)^{1/2}}\,dx =\tfrac12\int u^{-1/2}du =\tfrac12\cdot 2u^{1/2} =\sqrt{u} =\sqrt{x^2+4}.

Passo 4

Para \displaystyle \int \frac{x}{(x^{2}+4)^{3/2}}\,dx, com a mesma substituição u=x^2+4:
\int \frac{x}{(x^{2}+4)^{3/2}}\,dx =\tfrac12\int u^{-3/2}du =\tfrac12\cdot(-2)u^{-1/2} =-\frac{1}{\sqrt{u}} =-\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}.
Multiplicando por -4 resulta em
-4\int \frac{x}{(x^{2}+4)^{3/2}}\,dx =4\,\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}.

Passo 5

Somando as duas parcelas:
\int \frac{x^{3}}{(x^{2}+4)^{3/2}}\,dx =\sqrt{x^2+4} +\frac{4}{\sqrt{x^2+4}}+C =\frac{x^2+8}{\sqrt{x^2+4}}+C.

Resposta

\sqrt{x^2+4} \;+\;\frac{4}{\sqrt{x^2+4}}+C.

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