Calcule as integrais:
\int \frac{x\left(3 x^{2}+1\right)}{\left(3 x^{4}+2 x^{2}+1\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x\bigl(3x^{2}+1\bigr)}{\bigl(3x^{4}+2x^{2}+1\bigr)^{2}}\,dx.
O conteúdo envolvido é o método de substituição (u-substituição), pois o numerador é proporcional à derivada do polinômio do denominador.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 3x^{4}+2x^{2}+1.
Então
\frac{du}{dx} = 12x^{3}+4x = 4x\bigl(3x^{2}+1\bigr) \quad\Longrightarrow\quad x\bigl(3x^{2}+1\bigr)\,dx = \frac{du}{4}.

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de u, temos
\int \frac{x\bigl(3x^{2}+1\bigr)}{\bigl(3x^{4}+2x^{2}+1\bigr)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}}\;\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\int u^{-2}\,du.

Passo 4

Agora integramos a potência de u:
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} = -\frac{1}{u} + C.
Multiplicando por \tfrac{1}{4} resulta em
-\frac{1}{4u} + C.

Resposta

-\frac{1}{4\bigl(3x^{4}+2x^{2}+1\bigr)} + C

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