Calcule as integrais.
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{sen}^{3}(2 x) \cos ^{2}(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{sen}^{3}(2x)\,\cos^{2}(2x)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de potências de função trigonométrica. Vamos usar a identidade \operatorname{sen}^{2}(2x)=1-\cos^{2}(2x) e depois fazer uma substituição simples.

Passo 2

Escrevemos \operatorname{sen}^{3}(2x)=\operatorname{sen}^{2}(2x)\,\operatorname{sen}(2x), de modo que
\operatorname{sen}^{3}(2x)\,\cos^{2}(2x) =\bigl(1-\cos^{2}(2x)\bigr)\,\operatorname{sen}(2x)\,\cos^{2}(2x).

Passo 3

Fazemos a substituição
u=\cos(2x) \quad\Longrightarrow\quad du=-2\,\operatorname{sen}(2x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sen}(2x)\,dx=-\frac{du}{2}.
Quando x=0, u=\cos(0)=1.
Quando x=\tfrac{\pi}{4}, u=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.

Passo 4

No integrando substituímos e obtemos
\operatorname{sen}^{3}(2x)\,\cos^{2}(2x)\,dx =\bigl(1-u^{2}\bigr)\,u^{2}\,\operatorname{sen}(2x)\,dx =-\frac12\,(1-u^{2})\,u^{2}\,du.
Assim a integral vira
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\operatorname{sen}^{3}(2x)\,\cos^{2}(2x)\,dx =-\frac12\int_{1}^{0}(u^{2}-u^{4})\,du =\frac12\int_{0}^{1}(u^{2}-u^{4})\,du.

Passo 5

Calculamos a integral em u:
\int_{0}^{1}(u^{2}-u^{4})\,du =\biggl[\frac{u^{3}}{3}-\frac{u^{5}}{5}\biggr]_{0}^{1} =\frac{1}{3}-\frac{1}{5} =\frac{2}{15}.
Multiplicando por \tfrac12
\frac12\cdot\frac{2}{15} =\frac{1}{15}.

Resposta

\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\operatorname{sen}^{3}(2x)\,\cos^{2}(2x)\,dx =\frac{1}{15}.

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