Resolva as integrais triplas:
\int_{-1}^{1} \int_{0}^{2} \int_{0}^{1}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d x d y d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{-1}^{1}\int_{0}^{2}\int_{0}^{1}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,dx\,dy\,dz
sobre o paralelepípedo definido por
0 \le x \le 1,\quad 0 \le y \le 2,\quad -1 \le z \le 1.
O conteúdo é aplicação do Teorema de Fubini e das propriedades de linearidade da integral para separar e calcular passo a passo.

Passo 2

Integramos primeiro em x, mantendo y e z fixos:
\int_{0}^{1}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,dx =\int_{0}^{1}x^{2}\,dx + y^{2}\int_{0}^{1}dx + z^{2}\int_{0}^{1}dx.
Calculando cada termo:
\int_{0}^{1}x^{2}\,dx = \frac{1}{3},\quad \int_{0}^{1}dx = 1.
Logo o resultado da integral em x é
\frac{1}{3} \;+\; y^{2} \;+\; z^{2}.

Passo 3

Agora integramos em y de 0 a 2:
\int_{0}^{2}\Bigl(\tfrac{1}{3}+y^{2}+z^{2}\Bigr)\,dy = \frac{1}{3}\int_{0}^{2}dy + \int_{0}^{2}y^{2}\,dy + z^{2}\int_{0}^{2}dy.
Calculamos:
\int_{0}^{2}dy = 2,\quad \int_{0}^{2}y^{2}\,dy = \frac{2^{3}}{3} = \frac{8}{3}.
Portanto
\int_{0}^{2}\Bigl(\tfrac{1}{3}+y^{2}+z^{2}\Bigr)\,dy = \frac{2}{3} + \frac{8}{3} + 2z^{2} = \frac{10}{3} + 2z^{2}.

Passo 4

Por fim, integramos em z de -1 a 1:
\int_{-1}^{1}\Bigl(\tfrac{10}{3} + 2z^{2}\Bigr)\,dz = \frac{10}{3}\int_{-1}^{1}dz + 2\int_{-1}^{1}z^{2}\,dz.
Sabemos que
\int_{-1}^{1}dz = 2,\quad \int_{-1}^{1}z^{2}\,dz = \frac{2}{3}.
Logo
\int_{-1}^{1}\Bigl(\tfrac{10}{3} + 2z^{2}\Bigr)\,dz = \frac{10}{3}\cdot 2 \;+\; 2\cdot \frac{2}{3} = \frac{20}{3} + \frac{4}{3} = \frac{24}{3} = 8.

Resposta

O valor da integral tripla é 8.

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