Dados os vetores \vec{a}=2 \vec{i}+3 \vec{j}-2 \vec{k}, \vec{b}=\vec{i}-\vec{j} e \vec{c}=2 \vec{i}+3 \vec{k},
Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores \vec{a}, \vec{b} e \vec{c}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\displaystyle \vec a = 2\vec i + 3\vec j - 2\vec k,
\displaystyle \vec b = \vec i - \vec j e
\displaystyle \vec c = 2\vec i + 3\vec k,
e pede o volume do paralelepípedo por eles determinado.
O volume é o valor absoluto do produto escalar triplo:
V = \bigl|\vec a \cdot (\vec b \times \vec c)\bigr|.

Passo 2

Primeiro calculamos o produto vetorial \vec{b} \times \vec{c}.
\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\\ 1 & -1 & 0 \\\\ 2 & 0 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}\bigl((-1)\cdot 3 - 0\cdot 0\bigr) - \vec{j}\bigl(1\cdot 3 - 0\cdot 2\bigr) + \vec{k}\bigl(1\cdot 0 - (-1)\cdot 2\bigr).
Portanto
\vec{b} \times \vec{c} = -3\,\vec{i} \;-\; 3\,\vec{j} \;+\; 2\,\vec{k}.

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar de \vec a com esse resultado:
\vec a \cdot (\vec b \times \vec c) = (2,3,-2)\cdot(-3,-3,2) = 2\cdot(-3) + 3\cdot(-3) + (-2)\cdot2 = -6 -9 -4 = -19.
O volume é o valor absoluto:
V = \bigl|-19\bigr| = 19.

Resposta

19

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