5́ Questão:

Uma mosca se movimenta segundo a equação \vec{r}(t)=<t, 2 \operatorname{sen} 3 t, 2 \cos 3 t>. Encontre:
a) A equação dos planos normal e osculador no ponto P(\pi, 0,-2).
b) O vetor velocidade e a velocidade escalar dessa mosca em qualquer instante t.
c) O vetor aceleração e a aceleração normal, em qualquer instante t.

Passo 1

O enunciado dá a trajetória da mosca como
\vec r(t)=\langle t,\;2\sin(3t),\;2\cos(3t)\rangle,
pede (a) as equações dos planos normal e osculador em P(\pi,0,-2), (b) o vetor velocidade \vec v(t) e a velocidade escalar \|\vec v(t)\|, e (c) o vetor aceleração \vec a(t) e a componente normal da aceleração a_N(t). Para isso vamos usar derivadas vetoriais e o referencial de Frenet ( \vec T,\vec N,\vec B).

Passo 2

Derivando \vec r(t) obtemos o vetor velocidade e a sua norma:
\vec v(t)=\frac{d\vec r}{dt} =\bigl\langle 1,\;6\cos(3t),\;-6\sin(3t)\bigr\rangle.
Como
\|\vec v(t)\| =\sqrt{1^2+[6\cos(3t)]^2+[-6\sin(3t)]^2} =\sqrt{1+36(\cos^2(3t)+\sin^2(3t))} =\sqrt{37},
a velocidade escalar é constante e igual a \sqrt{37}.

Passo 3

Derivando \vec v(t) achamos o vetor aceleração:
\vec a(t)=\frac{d\vec v}{dt} =\bigl\langle 0,\;-18\sin(3t),\;-18\cos(3t)\bigr\rangle.
Como a velocidade escalar é constante, toda a aceleração é normal, logo
a_N(t)=\|\vec a(t)\| =\sqrt{0^2+[-18\sin(3t)]^2+[-18\cos(3t)]^2} =18.

Passo 4

Para os planos em P(\pi,0,-2) precisamos de \vec T e \vec B em t=\pi.
1. Em t=\pi:
\cos(3\pi)=-1,\;\sin(3\pi)=0.
Então
\vec v(\pi)=\langle1,6(-1),-6\cdot0\rangle=\langle1,-6,0\rangle.
2. O versor tangente é
\vec T(\pi)=\frac{\vec v(\pi)}{\|\vec v(\pi)\|}=\frac1{\sqrt{37}}\langle1,-6,0\rangle. 3. O versor normal principal em t=\pi é
\vec N(\pi)=\frac{\vec a(\pi)}{\|\vec a(\pi)\|}=\frac1{18}\langle0,0,18\rangle=\langle0,0,1\rangle. 4. O versor binormal é
\vec B(\pi)=\vec T(\pi)\times\vec N(\pi) =\frac1{\sqrt{37}}\langle1,-6,0\rangle\times\langle0,0,1\rangle =\frac1{\sqrt{37}}\langle -6,\,-1,\,0\rangle.
O plano normal é perpendicular a \vec T(\pi) e passa por P. Usando o vetor normal \langle1,-6,0\rangle:
\langle1,-6,0\rangle\cdot\bigl\langle x-\pi,\;y-0,\;z+2\bigr\rangle=0 \quad\Longrightarrow\quad (x-\pi)-6y=0 \quad\Longrightarrow\quad x-6y-\pi=0.
O plano osculador é perpendicular a \vec B(\pi) e passa por P. Com o vetor normal \langle-6,-1,0\rangle:
\langle-6,-1,0\rangle\cdot\bigl\langle x-\pi,\;y,\;z+2\bigr\rangle=0 \quad\Longrightarrow\quad -6(x-\pi)-y=0 \quad\Longrightarrow\quad 6x+y-6\pi=0.

Resposta

(a) Plano normal em P:
x - 6y - \pi = 0.
Plano osculador em P:
6x + y - 6\pi = 0.
(b) \displaystyle \vec{v}(t) = \bigl\langle 1,\,6\cos(3t),\,-6\sin(3t) \bigr\rangle,
\quad \|\vec{v}(t)\| = \sqrt{37}.
(c) \displaystyle \vec{a}(t) = \bigl\langle 0,\,-18\sin(3t),\,-18\cos(3t) \bigr\rangle,
\quad a_N(t) = 18.

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