5́ Questão:
Uma mosca se movimenta segundo a equação
. Encontre:
a) A equação dos planos normal e osculador no ponto
.
b) O vetor velocidade e a velocidade escalar dessa mosca em qualquer instante
.
c) O vetor aceleração e a aceleração normal, em qualquer instante
.
a) A equação dos planos normal e osculador no ponto
b) O vetor velocidade e a velocidade escalar dessa mosca em qualquer instante
c) O vetor aceleração e a aceleração normal, em qualquer instante
Passo 1
O enunciado dá a trajetória da mosca como
pede (a) as equações dos planos normal e osculador em
, (b) o vetor velocidade
e a velocidade escalar
, e (c) o vetor aceleração
e a componente normal da aceleração
. Para isso vamos usar derivadas vetoriais e o referencial de Frenet (
).
Passo 2
Derivando
obtemos o vetor velocidade e a sua norma:
Como
a velocidade escalar é constante e igual a
.
Passo 3
Derivando
achamos o vetor aceleração:
Como a velocidade escalar é constante, toda a aceleração é normal, logo
Passo 4
Para os planos em
precisamos de
e
em
.
. Em
:
.
Então
.
. O versor tangente é
. O versor normal principal em
é
. O versor binormal é
Então
O plano normal é perpendicular a
e passa por
. Usando o vetor normal
:
O plano osculador é perpendicular a
e passa por
. Com o vetor normal
:
Resposta
(a) Plano normal em
:
Plano osculador em
:
(b)
\quad
(c)
\quad
\quad
(c)
\quad