Calcule as integrais a seguir:
\int_{-4}^{6}|x-2| d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int_{-4}^{6} |x-2|\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • A função a integrar é o valor absoluto |x-2|.
  • Os limites de integração são de -4 até 6.
  • O ponto onde o argumento do valor absoluto se anula é x=2 (pois x-2=0 em x=2).
    A partir disso será necessário tratar |x-2| de forma peça a peça, usando x=2 para dividir o intervalo de integração.

Passo 2

Regra do valor absoluto e particionamento do intervalo:
Para qualquer número u\) vale \[|u| = \begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u<0. \end{cases}
Aplicando a u=x-2\] obtemos \[|x-2| = \begin{cases} 2-x, & \text{se } x<2,\\[4pt] x-2, & \text{se } x\ge 2. \end{cases}\] Como o intervalo de integração é \([-4,6] e o ponto crítico é x=2, dividimos a integral em duas partes:
\int_{-4}^{6} |x-2|\,dx = \int_{-4}^{2} (2-x)\,dx \;+\; \int_{2}^{6} (x-2)\,dx.]

Passo 3

Calcular a primeira integral \displaystyle \int_{-4}^{2} (2-x)\,dx.
Primeiro, achamos uma antiderivada de 2-x. A integral de uma constante 2 é 2x. A integral de -x é -\dfrac{x^{2}}{2}. Logo uma antiderivada é
F(x)=2x-\frac{x^{2}}{2}.
Avaliaremos F nos limites -4 e 2:
F(2)=2\cdot 2 - \frac{2^{2}}{2} = 4 - 2 = 2,
F(-4)=2\cdot (-4) - \frac{(-4)^{2}}{2} = -8 - \frac{16}{2} = -8 - 8 = -16.
Portanto
\int_{-4}^{2} (2-x)\,dx = F(2)-F(-4) = 2 - (-16) = 18.

Passo 4

Calcular a segunda integral \displaystyle \int_{2}^{6} (x-2)\,dx.
Uma antiderivada de x-2 é
G(x)=\frac{x^{2}}{2}-2x,
pois \dfrac{d}{dx}\!\big(\dfrac{x^{2}}{2}-2x\big)=x-2.
Avaliaremos G em 6 e em 2:
G(6)=\frac{6^{2}}{2}-2\cdot 6 = \frac{36}{2}-12 = 18-12 = 6,
G(2)=\frac{2^{2}}{2}-2\cdot 2 = \frac{4}{2}-4 = 2-4 = -2.
Logo
\int_{2}^{6} (x-2)\,dx = G(6)-G(2) = 6 - (-2) = 8.

Passo 5

Somando as duas partes obtidas:
\int_{-4}^{6} |x-2|\,dx = 18 + 8 = 26.
Verificação intuitiva (cheque rápido): o gráfico de |x-2| é um “V” com vértice em x=2. A área à esquerda é um triângulo com base 6 (de -4 a 2) e altura 6, área \tfrac{1}{2}\cdot6\cdot6=18. A área à direita é um triângulo com base 4 (de 2 a 6) e altura 4, área \tfrac{1}{2}\cdot4\cdot4=8. Soma 18+8=26, confirma o cálculo.

Resposta

26

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