Calcule as integrais a seguir:
\int_{-\pi / 4}^{\pi / 4} \operatorname{sec} ^{2}(t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \operatorname{sec}^{2}(t)\,dt.
Informações dadas:
  • O integrando é \operatorname{sec}^{2}(t), onde \operatorname{sec}(t)=\dfrac{1}{\cos(t)}.
  • Os limites de integração são t=-\pi/4 (inferior) e t=\pi/4 (superior).
  • Observação importante: \operatorname{sec}^{2}(t) só tem problema (singularidade) quando \cos(t)=0. No intervalo [-\pi/4,\pi/4] temos \cos(t)\neq0, portanto a função é contínua nesse intervalo e podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo usando uma primitiva.

Passo 2

Encontrar uma primitiva (antiderivada) de \operatorname{sec}^{2}(t). Lembrete útil: a função \tan(t) é definida por \tan(t)=\dfrac{\sin(t)}{\cos(t)}. Vou mostrar que
\frac{d}{dt}\tan(t)=\operatorname{sec}^{2}(t),
o que implica que \tan(t) é uma primitiva de \operatorname{sec}^{2}(t).
Prova (passo a passo usando a regra do quociente):
\tan(t)=\frac{\sin(t)}{\cos(t)}.
Pela regra do quociente, a derivada é
\frac{d}{dt}\tan(t)=\frac{\cos(t)\cdot\cos(t)-\sin(t)\cdot(-\sin(t))}{\cos^{2}(t)}.
No numerador temos \cos^{2}(t)+\sin^{2}(t), e pela identidade trigonométrica \sin^{2}(t)+\cos^{2}(t)=1 isso vira
\frac{d}{dt}\tan(t)=\frac{1}{\cos^{2}(t)}=\operatorname{sec}^{2}(t).
Portanto uma primitiva de \operatorname{sec}^{2}(t) é \tan(t). Escrevendo:
\int \operatorname{sec}^{2}(t)\,dt=\tan(t)+C.

Passo 3

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo: se F é uma primitiva de f, então
\int_{a}^{b} f(t)\,dt = F(b)-F(a).
Aqui f(t)=\operatorname{sec}^{2}(t) e podemos escolher F(t)=\tan(t). Assim
\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \operatorname{sec}^{2}(t)\,dt = \tan\!\bigl(\pi/4\bigr) - \tan\!\bigl(-\pi/4\bigr).

Passo 4

Calcular os valores de \tan nos limites. Há duas formas rápidas:
  1. Usando valores conhecidos:
\sin\!\bigl(\pi/4\bigr)=\cos\!\bigl(\pi/4\bigr)=\frac{\sqrt{2}}{2},
então
\tan\!\bigl(\pi/4\bigr)=\frac{\sin(\pi/4)}{\cos(\pi/4)}=1.
Como \tan é função ímpar ( \tan(-x)=-\tan(x)), temos
\tan\!\bigl(-\pi/4\bigr)=-1.
  1. Ou diretamente: \tan(-\pi/4)=-\tan(\pi/4)=-1.
Substituindo na expressão do Passo 3:
\tan\!\bigl(\pi/4\bigr)-\tan\!\bigl(-\pi/4\bigr)=1-(-1)=2.

Resposta

2

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