Calcule as integrais a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
, onde . - Os limites de integração são
(inferior) e (superior). - Observação importante:
só tem problema (singularidade) quando . No intervalo temos , portanto a função é contínua nesse intervalo e podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo usando uma primitiva.
Passo 2
Encontrar uma primitiva (antiderivada) de
. Lembrete útil: a função
é definida por
. Vou mostrar que
o que implica que
é uma primitiva de
.
Prova (passo a passo usando a regra do quociente):
Pela regra do quociente, a derivada é
No numerador temos
, e pela identidade trigonométrica
isso vira
Portanto uma primitiva de
é
. Escrevendo:
Passo 3
Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo: se
é uma primitiva de
, então
Aqui
e podemos escolher
. Assim
Passo 4
Calcular os valores de
nos limites. Há duas formas rápidas:
- Usando valores conhecidos:
então
Como
é função ímpar (
), temos
- Ou diretamente:
.
Substituindo na expressão do Passo 3: