(2,5 \mathrm{pts} ) Determine o domínio das funções abaixo:
f(x)=1 / \operatorname{raiz}\left(x^{2}-4\right)

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-4}}.
Para que f(x) exista, precisamos garantir duas coisas:
  1. O radicando deve ser não-negativo, mas como ele aparece no denominador, na prática precisamos que seja estritamente positivo.
  2. O denominador não pode ser zero.

Passo 2

Da condição acima obtemos a desigualdade
x^{2}-4>0.
Podemos fatorar o lado esquerdo:
x^{2}-4=(x-2)(x+2),
logo buscamos soluções de
(x-2)(x+2)>0.

Passo 3

Para resolver (x-2)(x+2)>0, analisamos os zeros em x=-2 e x=2. Num teste de sinais temos:
  • Em x<-2, ambos os fatores (x-2) e (x+2) são negativos, produto positivo.
  • Em -2<x<2, um fator é negativo e outro positivo, produto negativo.
  • Em x>2, ambos os fatores são positivos, produto positivo.
Portanto a desigualdade vale exatamente quando
x<-2\quad\text{ou}\quad x>2.

Resposta

O domínio de f é
(-\infty,-2)\,\cup\,(2,\infty).

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