(2,0 pts) Considere a função:
f(x) = {
    x2 - 1, se x<1
    2x + 1, se x >= 1
}
A função é contínua em \mathrm{x}=1 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} x^{2}-1, & x<1,\\\\ 2x+1, & x\ge1. \end{cases}
Queremos verificar a continuidade em x=1. Para isso, vamos calcular os limites laterais em 1 e comparar com o valor f(1).

Passo 2

Calcular o limite pela esquerda:
\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}(x^{2}-1)=1^{2}-1=0.

Passo 3

Calcular o limite pela direita e o valor de f(1):
\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}(2x+1)=2\cdot1+1=3,
e
f(1)=2\cdot1+1=3.

Passo 4

Os limites laterais não coincidem, pois
\lim_{x\to1^-}f(x)=0\neq3=\lim_{x\to1^+}f(x).
Como as duas aproximações não são iguais, a função não pode ser contínua em x=1.

Resposta

Não, a função não é contínua em x=1, pois \lim_{x\to1^-}f(x)=0\neq3=\lim_{x\to1^+}f(x).

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