Calcule as integrais:
9) \int \frac{x+1}{x^{6}+8 x^{4}+16 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{x+1}{x^{6}+8 x^{4}+16 x^{2}}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O numerador é x+1.
  • O denominador é x^{6}+8x^{4}+16x^{2}, que pode ser fatorado (isso será usado).
  • O objetivo é obter uma primitiva (integral indefinida), ou seja uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x+1}{x^{6}+8x^{4}+16x^{2}}, mais a constante arbitrária C.

Passo 2

Primeira simplificação: fatorar o denominador para ver sua estrutura.
x^{6}+8x^{4}+16x^{2}=x^{2}\bigl(x^{4}+8x^{2}+16\bigr).
Observe que x^{4}+8x^{2}+16=(x^{2}+4)^{2} (pois (x^{2}+4)^2=x^4+8x^2+16). Portanto
\frac{x+1}{x^{6}+8x^{4}+16x^{2}}=\frac{x+1}{x^{2}(x^{2}+4)^{2}}.
Comentário didático: fatorar é uma técnica padrão para ver fatores lineares ou quadráticos repetidos e decidir decomposição em frações parciais.

Passo 3

Escolha do método: vamos usar decomposição em frações parciais, porque o denominador já está fatorado em potências de polinômios de grau \le2. Para um denominador x^{2}(x^{2}+4)^{2} a forma geral da decomposição é
\frac{x+1}{x^{2}(x^{2}+4)^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{Cx+D}{x^{2}+4}+\frac{Ex+F}{(x^{2}+4)^{2}},
onde A,B,C,D,E,F são constantes a determinar. Explicação: para cada fator linear x com multiplicidade 2 colocamos termos A/x + B/x^2; para cada fator quadrático irreduzível x^2+4 de multiplicidade 2 colocamos termos (Cx+D)/(x^2+4) e (Ex+F)/(x^2+4)^2.

Passo 4

Multiplicando a identidade pelo denominador x^{2}(x^{2}+4)^{2} obtemos a igualdade polinomial
x+1 = A x (x^{2}+4)^{2} + B (x^{2}+4)^{2} + (Cx+D)x^{2}(x^{2}+4) + (Ex+F)x^{2}.
Vamos expandir e agrupar termos por potências de x. Primeiro calcule (x^{2}+4)^{2}=x^{4}+8x^{2}+16. Agora expandindo termo a termo:
  • A x (x^{2}+4)^{2}=A x^{5}+8A x^{3}+16A x.
  • B (x^{2}+4)^{2}=B x^{4}+8B x^{2}+16B.
  • (Cx+D)x^{2}(x^{2}+4)=(Cx+D)(x^{4}+4x^{2})=C x^{5}+4C x^{3}+D x^{4}+4D x^{2}.
  • (Ex+F)x^{2}=E x^{3}+F x^{2}.
Somando tudo e agrupando coeficientes por potências:
\begin{aligned} x+1 &= (A+C)\,x^{5} + (B+D)\,x^{4} + (8A+4C+E)\,x^{3} \\\ &\quad + (8B+4D+F)\,x^{2} + (16A)\,x + (16B). \end{aligned}
Essa identidade deve ser igual a x+1 = 0\cdot x^{5}+0\cdot x^{4}+0\cdot x^{3}+0\cdot x^{2}+1\cdot x + 1. Igualando coeficientes obtemos o sistema linear:
\begin{cases} A+C=0,\\[4pt] B+D=0,\\[4pt] 8A+4C+E=0,\\[4pt] 8B+4D+F=0,\\[4pt] 16A=1,\\[4pt] 16B=1. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema. Das últimas equações
A=\frac{1}{16},\qquad B=\frac{1}{16}.
Então pelas primeiras duas:
C=-A=-\frac{1}{16},\qquad D=-B=-\frac{1}{16}.
Agora use as equações do meio:
8A+4C+E=0 \Rightarrow 8\cdot\frac{1}{16}+4\cdot\left(-\frac{1}{16}\right)+E=0.
Calcule: 8\cdot\frac{1}{16}=\frac{1}{2}, 4\cdot\left(-\frac{1}{16}\right)=-\frac{1}{4}. Então \frac{1}{2}-\frac{1}{4}+E=0 E=-\frac{1}{4}.
Semelhantemente
8B+4D+F=0 \Rightarrow 8\cdot\frac{1}{16}+4\cdot\left(-\frac{1}{16}\right)+F=0,
o que também dá F=-\frac{1}{4}.
Portanto as constantes são
A=\frac{1}{16},\; B=\frac{1}{16},\; C=-\frac{1}{16},\; D=-\frac{1}{16},\; E=-\frac{1}{4},\; F=-\frac{1}{4}.

Passo 6

Reescrevendo a integral em parcelas simples:
\frac{x+1}{x^{2}(x^{2}+4)^{2}}=\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{x}+\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{x^{2}} -\frac{1}{16}\cdot\frac{x}{x^{2}+4}-\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{x^{2}+4} -\frac{1}{4}\cdot\frac{x}{(x^{2}+4)^{2}} -\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{(x^{2}+4)^{2}}.
Assim a integral original separa em integrais mais simples que vamos calcular uma a uma.

Passo 7

Integrar termo a termo, comentando a técnica usada em cada caso.
  1. \displaystyle \int \frac{1}{16}\cdot\frac{1}{x}\,dx=\frac{1}{16}\ln|x|. (Fórmula básica \int \frac{1}{x}dx=\ln|x|.)
  2. \displaystyle \int \frac{1}{16}\cdot\frac{1}{x^{2}}\,dx=\frac{1}{16}\int x^{-2}dx=\frac{1}{16}\cdot\left(-\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{16x}.
  3. \displaystyle \int -\frac{1}{16}\cdot\frac{x}{x^{2}+4}\,dx. Use substituição u=x^{2}+4, du=2x\,dx, então x\,dx=\tfrac{1}{2}du. Assim
\int -\frac{1}{16}\frac{x}{x^{2}+4}\,dx=-\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{2}\int\frac{du}{u}=-\frac{1}{32}\ln(x^{2}+4).
  1. \displaystyle \int -\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{x^{2}+4}\,dx. Usando \int\frac{1}{x^{2}+a^{2}}dx=\frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\frac{x}{a}\bigr) com a=2, obtemos
-\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)=-\frac{1}{32}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
  1. \displaystyle \int -\frac{1}{4}\cdot\frac{x}{(x^{2}+4)^{2}}\,dx. Novamente u=x^{2}+4, du=2x\,dx, logo
\int -\frac{1}{4}\frac{x}{(x^{2}+4)^{2}}\,dx=-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}\int u^{-2}du=-\frac{1}{8}\cdot\left(-\frac{1}{u}\right)=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{x^{2}+4}.
  1. \displaystyle \int -\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{(x^{2}+4)^{2}}\,dx. Aqui usamos a integral padrão
\int \frac{1}{(x^{2}+a^{2})^{2}}\,dx=\frac{x}{2a^{2}(x^{2}+a^{2})}+\frac{1}{2a^{3}}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr)+C.
Breve derivação (rápida): com a substituição x=a\tan t transforma-se a integral em uma combinação de \int\cos^{2}t\,dt, que ao voltar para x dá a fórmula acima. Aplicando com a=2 tem-se
\int \frac{1}{(x^{2}+4)^{2}}\,dx=\frac{x}{8(x^{2}+4)}+\frac{1}{16}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
Multiplicando por -\tfrac{1}{4} resulta
-\frac{1}{4}\left(\frac{x}{8(x^{2}+4)}+\frac{1}{16}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\right)=-\frac{x}{32(x^{2}+4)}-\frac{1}{64}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).

Passo 8

Somando todas as contribuições (1)–(6) obtemos a primitiva:
\begin{aligned} \int \frac{x+1}{x^{6}+8x^{4}+16x^{2}}\,dx &= \frac{1}{16}\ln|x| -\frac{1}{16x} -\frac{1}{32}\ln(x^{2}+4) \\\ &\quad -\frac{1}{32}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) +\frac{1}{8(x^{2}+4)} -\frac{x}{32(x^{2}+4)} -\frac{1}{64}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C. \end{aligned}
Agora juntamos os termos semelhantes (os termos em \arctan somam):
-\frac{1}{32}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)-\frac{1}{64}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)=-\frac{3}{64}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
Também podemos juntar os dois termos racionais sobre x^{2}+4:
\frac{1}{8(x^{2}+4)}-\frac{x}{32(x^{2}+4)}=\frac{4-x}{32(x^{2}+4)}.

Resposta

\boxed{\displaystyle \frac{1}{16}\ln|x|-\frac{1}{16x}-\frac{1}{32}\ln(x^{2}+4)-\frac{3}{64}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)+\frac{4-x}{32(x^{2}+4)}+C}

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