Calcule as integrais:
9) \int \frac{x+1}{x^{6}+8 x^{4}+16 x^{2}} d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{x+1}{x^{6}+8 x^{4}+16 x^{2}}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
O numerador é x+1.
O denominador é x^{6}+8x^{4}+16x^{2}, que pode ser fatorado (isso será usado).
O objetivo é obter uma primitiva (integral indefinida), ou seja uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x+1}{x^{6}+8x^{4}+16x^{2}}, mais a constante arbitrária C.
Passo 2
Primeira simplificação: fatorar o denominador para ver sua estrutura.
Comentário didático: fatorar é uma técnica padrão para ver fatores lineares ou quadráticos repetidos e decidir decomposição em frações parciais.
Passo 3
Escolha do método: vamos usar decomposição em frações parciais, porque o denominador já está fatorado em potências de polinômios de grau \le2. Para um denominador x^{2}(x^{2}+4)^{2} a forma geral da decomposição é
onde A,B,C,D,E,F são constantes a determinar. Explicação: para cada fator linear x com multiplicidade 2 colocamos termos A/x + B/x^2; para cada fator quadrático irreduzível x^2+4 de multiplicidade 2 colocamos termos (Cx+D)/(x^2+4) e (Ex+F)/(x^2+4)^2.
Passo 4
Multiplicando a identidade pelo denominador x^{2}(x^{2}+4)^{2} obtemos a igualdade polinomial
x+1 = A x (x^{2}+4)^{2} + B (x^{2}+4)^{2} + (Cx+D)x^{2}(x^{2}+4) + (Ex+F)x^{2}.
Vamos expandir e agrupar termos por potências de x. Primeiro calcule (x^{2}+4)^{2}=x^{4}+8x^{2}+16. Agora expandindo termo a termo:
Essa identidade deve ser igual a x+1 = 0\cdot x^{5}+0\cdot x^{4}+0\cdot x^{3}+0\cdot x^{2}+1\cdot x + 1. Igualando coeficientes obtemos o sistema linear:
Breve derivação (rápida): com a substituição x=a\tan t transforma-se a integral em uma combinação de \int\cos^{2}t\,dt, que ao voltar para x dá a fórmula acima. Aplicando com a=2 tem-se