Calcule as integrais:
\int(\operatorname{tg} x)^{6}(\operatorname{sec} x)^{4} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int (\tan x)^{6}(\operatorname{sec} x)^{4}\,dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição em integrais que envolvem potências de \tan x e \operatorname{sec} x. Vamos usar que
  1. \displaystyle \frac{d}{dx}(\tan x)=\operatorname{sec}^{2}x,
  2. a identidade \operatorname{sec}^{2}x=1+\tan^{2}x.

Passo 2

Separe um fator de \operatorname{sec}^{2}x para usar como du. Observe que
(\tan x)^{6}(\operatorname{sec} x)^{4} =(\tan x)^{6}(\operatorname{sec} x)^{2}\,\bigl(\operatorname{sec} x\bigr)^{2}
e podemos associar um \operatorname{sec}^{2}x\,dx à diferencial du.

Passo 3

Faça a substituição
u=\tan x, \quad du=\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Então um dos \operatorname{sec}^{2}x\,dx vira du e sobra
\int (\tan x)^{6}(\operatorname{sec} x)^{4}\,dx =\int u^{6}\,\bigl(\operatorname{sec}^{2}x\bigr)\,du.
Agora use a identidade \operatorname{sec}^{2}x=1+u^{2}, obtendo
\int u^{6}(1+u^{2})\,du =\int\bigl(u^{6}+u^{8}\bigr)\,du.

Passo 4

Integre o polinômio em u:
\int\bigl(u^{6}+u^{8}\bigr)\,du =\frac{u^{7}}{7} + \frac{u^{9}}{9} + C.

Passo 5

Volte à variável original: u=\tan x. Assim
\frac{u^{7}}{7} + \frac{u^{9}}{9} + C =\frac{\tan^{7}x}{7} + \frac{\tan^{9}x}{9} + C.

Resposta

\boxed{\int (\tan x)^{6}(\operatorname{sec} x)^{4}\,dx =\frac{\tan^{7}x}{7} + \frac{\tan^{9}x}{9} + C.}

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