Calcule as integrais.
\int_{0}^{2} \frac{2 x}{\sqrt{4-x^{2}}} d x.

Passo 1

O enunciado pede a integral definida
\int_{0}^{2}\frac{2x}{\sqrt{4 - x^{2}}}\,dx.
Para resolver, vamos usar mudança de variável, pois a derivada de 4 - x^{2} é proporcional a x, que aparece no numerador.

Passo 2

Definimos
u = 4 - x^{2},
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du = -2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad 2x\,dx = -\,du.
Quando x=0, u=4; quando x=2, u=0.

Passo 3

Substituindo na integral e trocando os limites, obtemos
\int_{0}^{2}\frac{2x}{\sqrt{4 - x^{2}}}\,dx =\int_{4}^{0}\frac{-\,du}{\sqrt{u}} =\int_{0}^{4}u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
\int u^{-\tfrac12}\,du =\frac{u^{\tfrac12}}{\tfrac12} =2\,u^{\tfrac12}.
Avaliando de 0 a 4:
\left[2\,u^{\tfrac12}\right]_{0}^{4} =2\sqrt{4}-2\sqrt{0} =4.

Resposta

4

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