Resolva as seguintes equações diferenciais usando coeficientes a determinar.
y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=\cos (x)-\operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo
y'' - y' + y = \cos(x) - \sin(x).
O que precisamos fazer é (1) achar a solução geral da parte homogênea y_h e (2) encontrar uma solução particular y_p pelo método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Para a parte homogênea
y'' - y' + y = 0
montamos a equação característica
r^2 - r + 1 = 0.
As raízes são
r = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h = e^{\tfrac{x}{2}}\Bigl(C_1\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\bigr)+C_2\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\bigr)\Bigr).

Passo 3

Para a parte particular, como o segundo membro é combinação de \cos(x) e \sin(x), propomos
y_p = A\cos(x) + B\sin(x),
com A e B constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p' = -A\sin(x)+B\cos(x),
y_p'' = -A\cos(x)-B\sin(x).
Substituindo em y''-y'+y obtemos
y_p''-y_p'+y_p = \bigl(-A\cos x - B\sin x\bigr) - \bigl(-A\sin x + B\cos x\bigr) + \bigl(A\cos x + B\sin x\bigr).
Agrupando termos em \cos(x) e \sin(x), vem
\underbrace{(-A - B + A)}_{-B}\cos(x) \;+\; \underbrace{(-B + A + B)}_{A}\sin(x) = -B\cos(x) + A\sin(x).
Igualando ao segundo membro \cos(x)-\sin(x), temos
-\,B = 1,\quad A = -1,
ou seja
A = -1,\quad B = -1.
Portanto
y_p = -\cos(x) - \sin(x).

Resposta

A solução geral da equação dada é
y(x) = e^{\tfrac{x}{2}}\Bigl(C_1\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\bigr)+C_2\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\bigr)\Bigr) - \cos(x) - \sin(x).

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